1個の smooth merge はどの論理測定をしているのか

0. 結論

ただし、smooth/rough の名前は文献や rotated patch の置き方で入れ替わって見えることがある。 事故を避けるには「smooth merge」とだけ書かず、M_ZZ または measure ZZ と論理 observable を併記するのがよい。

1. このノートの約束

表面符号の境界名は、どの anyon が凝縮するか、どの向きに patch を描くか、rotated patch の色付けをどう選ぶかで見え方が変わる。 このレポートでは、既存の 表面符号の lattice surgery と同じ約束を使い、 smooth merge を \(M_{ZZ}\)、rough merge を \(M_{XX}\) と呼ぶ。

以後、測定結果を符号 \(s\in\{+1,-1\}\) または bit \(m\in\{0,1\}\) で書き、 \(s=(-1)^m\) と対応させる。logical Pauli は \(\bar X_A,\bar Z_A,\bar X_B,\bar Z_B\) と書く。

2. smooth merge の物理手順

2つの距離 \(d\) patch \(A,B\) を、間の routing/seam 領域 \(R\) を使って一時的に大きな patch にする。 実装によっては \(R\) が常に置かれていて普段は使わない qubit であり、別の実装では merge の直前に割り当てる。 どちらでも論理的な意味は同じである。

「\(\ket{+}\) に準備するのに、なぜ \(Z Z\) を測るのか」が最初の混乱点である。 \(\ket{+}\) 準備は、追加した seam data が \(X\) 型の初期化 syndrome と整合するようにするための物理的準備であり、 読み出す論理量は「有効化した \(Z\)-type seam check 群の積」が決める。

1. merge 前: \(S_A\) と \(S_B\) は独立に測られており、\(\bar Z_A,\bar Z_B\) はそれぞれの patch を横切る logical string として定義されている。
2. merge 開始: 境界付近の古い check の一部を止め、merged patch として妥当な \(Z\)-type seam checks を測り始める。
3. 結果の読み方: 最初の seam check product は、noiseless なら \(\bar Z_A\bar Z_B\) の値である。 実際には測定誤りと data error があるため、時空間 detector graph で補正する。

3. 射影として見る

入力は 2 つの論理 qubit \(A,B\) である。smooth merge の測定結果を \(s=+1\) または \(s=-1\) とすると、理想的な論理作用は次の射影で表せる。

つまり、\(s=+1\) なら \(\bar Z_A\bar Z_B=+1\) の sector に、 \(s=-1\) なら \(\bar Z_A\bar Z_B=-1\) の sector に状態を射影する。 実機では raw seam product をそのまま使わず、syndrome record と decoder correction を合わせて \(s\) を決める。

この式は「1個の smooth merge はユニタリゲートではない」ことも示している。 測定 outcome \(s\) があり、その outcome に応じて状態は \(ZZ\) parity sector へ射影される。 outcome を捨てると、even/odd sector 間の coherence は失われる。

4. Stabilizer で見る

merge 前の stabilizer 群を \(S_A\) と \(S_B\) とする。 smooth merge では、境界をまたぐ新しい \(Z\)-type seam check 群 \(G_{\rm seam}^Z\) を測る。 個々の \(g\in G_{\rm seam}^Z\) は旧符号空間上の logical operator ではないが、適切な積を取ると次の同値が成り立つ。

したがって、最初の merge ラウンドで得る seam check の積は、ノイズがなければ \(\bar Z_A\bar Z_B\) の測定値である。ノイズがある場合は、decoder が推定した error chain が この observable を反転するかどうかを加味する。

4.1 なぜ積だけが論理量になるのか

個々の seam check は局所 stabilizer であり、測っても単独では「logical qubit の値」を表さない。 しかし seam に沿ってすべて掛け合わせると、内部の local edge は \(\mathbb F_2\) 上で2回現れて消え、 両端に残る非自明 string が \(A\) と \(B\) の logical \(Z\) string になる。 これが \(\prod G_{\rm seam}^{Z}\equiv \bar Z_A\bar Z_B\) という同値の幾何学的意味である。

4.2 可換性で確認する

5. 基底で見る

\(\bar Z\) の固有基底を \(\ket{0},\ket{1}\) と書く。 一般の 2 logical state を

とすれば、smooth merge は偶奇 parity を読む。

ここで重要なのは、\(\ket{00}\) と \(\ket{11}\) のどちらだったかまでは測っていない点である。 だから smooth merge は \(Z_A\) 測定でも \(Z_B\) 測定でもなく、あくまで \(Z_AZ_B\) parity 測定である。

6. merge 後の論理演算子

smooth merge だけで止める場合、2つの logical qubits は1つの merged logical qubit に再定義される。 測定 outcome を \(s\) とすると、新しい stabilizer constraint は

この constraint と可換で、かつ stabilizer ではない代表を1組選べば merged logical qubit の Pauli が得られる。 典型的な選び方は次である。

これは rough merge の双対である。rough merge では \(\bar X_A\bar X_B=s\) が固定され、 \(\bar X_M=\bar X_A\)、\(\bar Z_M=\bar Z_A\bar Z_B\) のように選べる。 smooth merge では \(X\leftrightarrow Z\) を交換した対応になる。

6.1 outcome ごとの基底再解釈

7. 「1個の merge だけ」と「merge + split」

したがって「1個の smooth merge はどの論理測定か」と聞かれたら、答えは \(\bar Z_A\bar Z_B\) の測定でよい。 ただし merge だけで止めるなら、測定に加えて「2 qubit 空間を 1 qubit 空間へ再符号化する」 という状態写像も同時に起きている。

7.1 split を入れると何が増えるか

計算でよく使うのは、merge したまま論理数を減らす操作ではなく、 merge で \(ZZ\) parity を読み、その後 split して2つの patch に戻す操作である。 smooth merge の逆向き split では、seam data を \(X\) basis で測る。

split の \(X\)-basis 測定値は単なる後片付けではない。 境界を切る transition の detector と Pauli frame 更新に入るため、測定 record として保存する必要がある。

8. Decoder observable と fault tolerance

理想式では seam check product がそのまま \(ZZ\) outcome だった。 しかし実機や circuit-level simulator では、data error、measurement error、reset error、hook error がある。 そのため、smooth merge の出力は raw product ではなく、decoder が補正した observable bit である。

procedure SMOOTH_MERGE_MZZ(A, B, R, d):
    prepare seam data R in |+>
    enable merged-layout Z-type seam checks
    for round in 1..d:
        measure merged stabilizers
        append outcomes to detector record
    raw = xor(first-round seam Z-check outcomes)
    e_hat = decode(detector record, observable=O_ZZ)
    m_zz = raw xor observable_flip(e_hat, O_ZZ)
    return s = (-1)^m_zz

「1個の smooth merge」と言っても、fault-tolerant operation としては1回の check 測定ではない。 空間方向の seam 長、時間方向の測定ラウンド数、hook error の向きまで含めて初めて操作距離が決まる。

9. 具体例

10. 誤解しやすい点

11. 実装チェック

• 名前smooth merge だけでなく M_ZZ または measure ZZ と書く。
• 物理seam data を \(\ket{+}\) に準備し、\(Z\)-type seam checks を有効化する。
• 出力raw seam product ではなく、decoder correction を含む \(m_{ZZ}^{\rm decoded}\) を使う。
• split2 patch に戻すなら seam data は \(X\) basis で測る。
• frame\(s=-1\) の扱いは物理 correction ではなく Pauli frame / observable sign convention に入れる。
• 距離seam 長、測定ラウンド数、hook error schedule が目的の操作距離を落としていないか確認する。
• 記録merge 開始、first seam product、継続ラウンド、split terminal measurements を detector model に入れる。

関連する既存ノート

• 表面符号の lattice surgery：merge/split、decoder observable、CNOT まで含む本編。
• lattice surgery 具体例集：\(XX\), \(ZZ\), split, Pauli frame の具体例。
• lattice surgery 演習問題と解答：rough/smooth convention の確認問題。

参考文献

1. Dominic Horsman, Austin G. Fowler, Simon Devitt, Rodney Van Meter, “Surface code quantum computing by lattice surgery,” New Journal of Physics 14, 123011 (2012). arXiv:1111.4022.
2. Daniel Litinski, “A Game of Surface Codes: Large-Scale Quantum Computing with Lattice Surgery,” Quantum 3, 128 (2019). Quantum journal page.
3. Austin G. Fowler, Craig Gidney, “Low overhead quantum computation using lattice surgery,” arXiv:1808.06709.
4. Niel de Beaudrap, Ross Duncan, Dominic Horsman, Simon Perdrix, “The ZX calculus is a language for surface code lattice surgery,” Quantum 4, 218 (2020). Quantum journal page.