抽象式だけでは見落としやすい、初期化 basis、seam check、split basis、decoder observable、Pauli frame の具体的な組み合わせを大量に並べた例集です。
各例は「物理操作」「論理的な意味」「落とし穴」に分けています。タグ検索で CNOT, X型, decoder, 失敗例, multi-qubit などを入力すると絞り込めます。
| 測りたい論理量 | routing 初期化 | turn on する checks | split basis | 出力の扱い |
|---|---|---|---|---|
| \\(X_AX_B\\) | \\(\\ket{0}\\) | X-type seam checks | Z basis | 復号済み observable \\(m_{XX}\\) |
| \\(Z_AZ_B\\) | \\(\\ket{+}\\) | Z-type seam checks | X basis | 復号済み observable \\(m_{ZZ}\\) |
| CNOT | ancilla \\(\\ket{+}_L\\) | \\(Z_CZ_A\\), then \\(X_AX_T\\) | ancilla \\(Z\\) 測定 | \\(Z_C\\) if \\(m_2=-1\\), \\(X_T\\) if \\(m_1m_3=-1\\) |
| multi-Pauli | Pauli 型に応じる | 選んだ Pauli 型の seam/gauge checks | 双対 basis | observable support を GF(2) で定義 |
2つの rotated patch を X-string が seam を横切る向きに置き、routing qubit を \(\ket{0}\) に準備する。seam の X-type checks を \(d_m\) ラウンド測る。
seam check 積は \(X_A X_B\) と stabilizer 同値なので、復号後の observable bit が \(X_AX_B\) の測定値。
1ラウンドの raw product を使わない。split の Z-basis 測定値を frame に入れる。
routing qubit を \(\ket{+}\) に準備し、Z-type seam checks を測る。split は X basis。
復号後の observable は \(Z_AZ_B\)。Z 型 surgery は X 型の双対。
X/Z の記法と rough/smooth 名称を混同しない。
2パッチを seam checks で接続し、split せずに大きな1パッチとして以後 syndrome extraction を続ける。
2 qubit 空間を parity sector に射影し、残る自由度を1 logical として再定義する。
merge 後の logical \(X_L,Z_L\) の代表元を必ず再定義する。
merge 後に routing region を適切 basis で測定して切り離し、元の2 patch に戻す。
論理的には \(P_m=(I+mP_L)/2\) の projective measurement。2 logical qubits は残る。
split 測定値は classical garbage ではなく logical frame の一部。
ancilla \(A\) を \(\ket{+}_L\) に準備。\(Z_CZ_A\), \(X_AX_T\), \(Z_A\) を測る。
\(m_1=m_2=m_3=+1\) なら byproduct なしで CNOT tableau が得られる。
この場合でも測定履歴は後続の decoder observable として保持する。
同じ CNOT pattern で \(X_AX_T\) の復号済み outcome が -1。
control の Pauli frame に \(Z_C\) を入れる。target の correction は \(m_1m_3\) に依存。
物理的に Z pulse を打つ必要は通常ない。frame 更新でよい。
\(Z_CZ_A\) outcome と ancilla Z 測定 outcome の積が -1。
target の Pauli frame に \(X_T\) を入れる。
ancilla の最後の論理測定も decoder を通した logical measurement として扱う。
\(A\) を \(\ket{+}\)、\(B\) を \(\ket{0}\) に準備し、\(X_AX_B\) または \(Z_AZ_B\) を組み合わせて相関を作る。
例えば \(ZZ\) と適切な single-logical preparation/measurement により Bell stabilizer \(ZZ=+1, XX=+1\) を作る。
どちらの Bell stabilizer を surgery で得て、どちらを初期化で得るかを明記する。
中央 ancilla/bus patch を使い複数 patch と同種の parity 測定を行う。
\(Z_1Z_2, Z_1Z_3, ...\) と全体の X 相関を stabilizer として持つ GHZ 型状態を構成できる。
bus が長いと seam distance と測定ラウンドが支配的になる。
3つの patch を共通 routing region に接続し、Z-type seam/super-checks の積を observable にする。
decoder observable が \(Z_AZ_BZ_C\) になるように support を設計する。
中間で2体測定を2回行うのと同じではなく、保持される相関が異なる場合がある。
routing data を \(\ket{0}\) にし、X-type seam checks を複数 patch にまたがって測る。
seam check 積が \(X_AX_BX_C\) に stabilizer 同値となる。
分岐点の hook error と weight reduction gauge の設計に注意。
\(Y=iXZ\) なので、logical S/H frame で測定基底を変換するか、X/Z surgery と Clifford frame を組み合わせる。
実装上は物理ゲートで patch 全体を回すのではなく、logical frame 変換として扱える場合が多い。
位相 \(i\) は measurement sign convention に入る。符号表を明示する。
1つの長い patch の中央列を Z または X basis で測り、2 patch に分割する。
切断 basis と元の logical state に応じ、2つの新 logical の parity が固定される。
測った列の outcome product が byproduct sign を決める。
patch 全体の適切な data-qubit string/全体 basis 測定から logical \(Z\) outcome を復号する。
terminal round の syndrome と data measurement を合わせた observable が logical \(Z_L\)。
最後の data measurement だけの product は noisy。decoder に終端 detector を入れる。
対象でない patch は通常の syndrome extraction を継続し、seam 近傍の競合する ancilla schedule だけ避ける。
論理的には identity memory channel。ただし同時実行可能性は stabilizer schedule の衝突で決まる。
隣接 patch の hook error が surgery observable に混入しないようにする。
code distance \(d\) の patch なのに seam 長が \(d-2\) しかない。
surgery observable を反転する space-like error chain の最小重みが下がり、操作距離が \(d\) 未満になる。
patch の静的距離だけでは手術の距離は保証されない。
\(d_m=1\) で seam checks を測って即 split。
measurement error 1個が parity bit を反転できるため time-like distance が1。
実験デモでは post-selection と区別する。fault-tolerant とは言えない。
同じ seam check の outcome が1ラウンドだけ反転。
detector pair は出るが、observable と同時に相関するかは decoder graph で決まる。
observable bit を raw product でなく correction class と一緒に計算する。
Z error chain が X-type seam checks の syndrome を作り、seam を横切って logical observable に接続する。
decoder が誤った homology class を選ぶと \(X_AX_B\) outcome が反転する。
seam 近傍の境界 detector を正しく入れる。
X error chain が Z-type seam checks に syndrome を作る。
誤った correction class は \(Z_AZ_B\) observable bit を反転する。
X/Z duality を使うが noise bias があると対称ではない。
ancilla-data CNOT の順序を、相関2-qubit error が短い logical operator を作らない向きに設定する。
stabilizer は同じでも circuit-level noise で有効距離が変わる。
phenomenological model だけで安全と判断しない。
直接 weight-4 を測れない場合、複数の低重み gauge operators を測り、その積を super-stabilizer として使う。
gauge outcome 自体は logical 情報ではなく、積が seam stabilizer と observable を構成する。
gauge fixing の detector model を明示的に作る。
隣接方向が辺ではなく角に近い場合、短い routing strip と変形した check support を使う。
observable support が連結し、最小エラー鎖が距離 \(d\) を保つなら parity 測定として使える。
corner で距離が落ちやすい。図の見た目ではなく homology で確認する。
片側の境界を伸ばし、反対側を測定で削る。
logical operator representatives が空間的に移動するが、Pauli frame により同じ logical qubit を追跡する。
移動中の最小論理距離を各時刻で確認する。
parity measurement の outcome が -1。
射影先の parity sector が異なるだけ。必要なら後続の Clifford frame で補正する。
post-selection しない設計では -1 を正常な分岐として扱う。
logical \(\ket{+}\) や \(\ket{0}\) は数ラウンドの syndrome と logical observable で検証される。
初期化は ideal projection ではなく noisy preparation + decoding。
初期化直後の boundary detectors を忘れない。
間に空の routing region を置き、長い seam/bus を準備して parity 測定する。
logical product は測れるが、space-time volume は bus 長と測定ラウンドに比例。
bus 自体が別の logical degree を持たないよう stabilizer/gauge を設計する。
\(d_A=7,d_B=5\) の patch 間で surgery。
操作距離は通常、小さい方、seam geometry、round 数で制限される。
大きい patch の距離に合わせても小さい patch 側で logical fault が起きる。
dephasing bias が強いなら、X/Z surgery の選択と repetition 回数を非対称にする設計があり得る。
論理測定の失敗確率はノイズモデルに依存し、X/Z 双対の完全対称性は壊れる。
bias を使うなら decoder weights と schedule も一緒に変える。
braiding は defect world-line の絡み、surgery は patch 間 Pauli product measurement の列。
どちらも surface code の logical Clifford を作れるが、resource layout と直感が異なる。
surgery は測定 pattern なので byproduct 管理が中心。
merge/split を Frobenius algebra の spider として抽象化する。
同色 spider の fusion が同種の merge/split 合成に対応する。
ZX 図式は高レベル検証に有効だが、物理 schedule と距離評価は別途必要。
各 seam check outcome と split measurement outcome を observable include する。
decoder は検出イベントから correction class を選び、observable flip を出力する。
observable の符号 convention を circuit generator と一致させる。
\(Z_AZ_B\) を測った直後、\(X_A\) は測定演算子と反交換する。
事後状態では \(X_A\) 単独の期待値は一般に消え、\(X_AX_B\) など可換な組み合わせが意味を持つ。
split 後の新しい single-logical operators は frame とともに再選択される。
独立な \(\ket{+}\ket{+}\) に \(Z_AZ_B\) surgery を行う。
outcome \(z\) に応じて \(Z_AZ_B=z\) の entangled parity sector に入る。
完全な Bell pair には追加の stabilizer/measurement か初期化条件が必要。
X型 surgery なのに routing qubit を \(\ket{+}\) に準備。
意図した split basis と gauge-fixing 条件が合わず、余計な logical 情報・ランダム frame が入る。
実装仕様では seam type と初期化/split basis をペアで固定する。
CNOT の byproduct を物理 pulse で即時補正せず、後続の測定 basis/結果解釈に反映する。
Clifford frame なら古典制御遅延を Pauli frame propagation で吸収できる。
non-Clifford injection の feed-forward では遅延が resource に影響する。
同じ patch を共有する \(X_AX_B\) と \(Z_AZ_C\) を測る。
共有 qubit 上で X と Z が反交換するため、測定順序が論理 map を変える。
スケジューラは同時実行だけでなく論理可換性も確認する。
bulk syndrome はエラー検出用、surgery observable はアルゴリズム上の測定結果。
どちらも check outcome から作るが、前者は detector、後者は logical observable として扱う。
decoder 出力で observable flip を補正する。
距離3未満または少数ラウンドで syndrome がきれいな試行だけ採用する。
概念実証として parity 相関を観測できるが、完全な fault tolerance とは区別する。
post-selection の閾値・破棄率を報告する。
物理 checks を binary vector とし、測りたい logical support に一致する check 積を線形方程式で探す。
\(H^T a = \ell + s\) のような形で seam check の選択を求める。
不完全 hardware や欠陥 qubit では可解性判定が重要。
input: patches A,B; desired P_A P_B where P is X or Z; code distance d; measurement rounds d_m
1. choose seam geometry so product of seam checks is P_A P_B modulo bulk stabilizers
2. initialize routing data qubits in the basis dual to the split measurement:
if P=X: prepare |0>, later measure Z
if P=Z: prepare |+>, later measure X
3. update syndrome extraction schedule: pause incompatible boundary checks, activate seam checks
4. repeat for d_m rounds; collect raw check outcomes with timestamps
5. build detectors including start/end boundary detectors
6. define observable O_PP from seam outcomes plus terminal data measurements if needed
7. decode; report corrected parity m_PP
8. split; restore patch checks; update Pauli frame from m_PP and split outcomesprepare A = |+>_L
m1 = measure_logical_product(Z_C, Z_A) # Z-type surgery
m2 = measure_logical_product(X_A, X_T) # X-type surgery
m3 = measure_logical_Z(A) # destructive logical measurement
if m2 == -1: frame.add(Z_C)
if m1*m3 == -1: frame.add(X_T)
retire ancilla A本レポートは、下記の文献・実装系解説を参照しつつ、物理チェックの切替、logical observable の同定、Pauli frame の処理を教育目的に再構成したものです。文献により rough/smooth の命名や patch の向きが異なることがあるため、本文では必ず「X型 seam surgery」「Z型 seam surgery」のように、測る論理演算子と物理チェック型を明示します。