物理 qubit 操作、stabilizer 剰余での論理 observable 同定、decoder observable、CNOT byproduct を自分で確認するための問題集です。
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問題: 本レポートの convention で \(X_AX_B\) を測る場合、routing qubit の初期化 basis、turn on する seam check、split basis を答えよ。
routing data qubit は \(\ket{0}\) に準備し、X-type seam checks を \(d_m\) ラウンド測る。split では routing qubit を Z basis で測る。復号済み observable が \(X_AX_B\) の outcome になる。
問題: \(Z_AZ_B\) surgery の双対な物理操作列を答えよ。
routing data qubit を \(\ket{+}\) に準備し、Z-type seam checks を syndrome schedule に入れる。十分なラウンド測定後、split では routing data を X basis で測る。
問題: seam checks \(S_i^X\) の積が \(X_AX_B\) になる、という主張を stabilizer 剰余で説明せよ。
\(M_X=\prod_i S_i^X\) と置くと、seam 内部の物理 \(X\) は偶数回現れて消え、残りの support は \(X_A\) と \(X_B\) の代表元に一致する。ただし bulk checks の積が余分に掛かるので \(M_X=X_AX_B S_{bulk}\)。コード空間で \(S_{bulk}=+1\) だから同じ outcome を測る。
問題: なぜ seam check を1ラウンドだけ測って raw product を使うのは fault-tolerant ではないか。
1個の measurement error が parity product を反転できるため、time-like distance が1になる。複数ラウンドの detector history を decoder に渡し、measurement error chain と data error chain を同時に扱う必要がある。
問題: CNOT pattern で \(m_1=+1,m_2=-1,m_3=+1\)。必要な Pauli frame correction は何か。
\(m_2=-1\) なので control に \(Z_C\)。また \(m_1m_3=+1\) なので target の \(X_T\) correction は不要。
問題: \(m_1=-1,m_2=+1,m_3=+1\) の CNOT byproduct を答えよ。
\(m_2=+1\) なので \(Z_C\) は不要。\(m_1m_3=-1\) なので target に \(X_T\) frame correction を入れる。
問題: \(m_1=-1,m_2=-1,m_3=-1\) の CNOT byproduct を答えよ。
\(m_2=-1\) より \(Z_C\) を入れる。\(m_1m_3=(+1)\) なので \(X_T\) は不要。
問題: \(Z_AZ_B\) 測定直後に \(X_A\) 単体が well-defined observable でない理由を説明せよ。
\(X_A\) は \(Z_AZ_B\) と反交換する。測定により状態は \(Z_AZ_B\) の固有空間へ射影されるため、反交換する演算子はその固有空間を別の sector に移す。従って事後状態で保持される可観測量は \(X_AX_B\) など測定演算子と可換な組み合わせになる。
問題: split 測定値を無視すると何が起きるか。
split 後の2 patch の logical operator representatives の符号が測定値に依存する。無視すると Pauli frame がずれ、後続の logical measurements/gates の解釈を誤る。
問題: code distance \(d=7\) の patch で seam 長が5しかない場合、surgery の有効距離について何を疑うべきか。
surgery observable を反転する space-like chain が seam 長5で存在する可能性があり、操作距離が7ではなく5以下に落ちることを疑う。静的 patch distance だけでは不十分。
問題: bulk syndrome detector と surgery observable の違いを述べよ。
detector はエラー推定のために syndrome の時間差や境界条件から作る検出イベント。surgery observable はアルゴリズム上の logical measurement bit で、decoder の correction class により flip 補正される出力ビット。
問題: weight-4 seam check を直接測れないハードウェアでの一般的な対処は何か。
低重み gauge checks に分解して測り、それらの積を super-stabilizer/seam check として使う。detector model には gauge outcome と super-check の関係を正しく入れる。
問題: hook error が surgery distance を落とし得る理由を説明せよ。
ancilla-mediated check 測定では1つの物理 fault が相関2-qubit error になることがある。その向きが seam または境界に沿う短い logical chain と一致すると、phenomenological distance より circuit-level distance が下がる。
問題: \(\ket{+}_A\ket{+}_B\) に \(Z_AZ_B\) を測ると、どのような相関が生じるか。
outcome \(z\) に対し、状態は \(Z_AZ_B=z\) の parity sector に射影される。これは一般に entangled state であり、さらに \(X_AX_B\) などの stabilizer 条件が揃うと Bell state として記述できる。
問題: \(Z_AZ_BZ_C\) を一度に測る surgery で、二体測定2回との違いは何か。
一度の三体測定は三体積の parity だけを明らかにし、二体 parity 個別の情報を必ずしも漏らさない。二体測定2回は中間の二体相関も測ってしまうため、論理 map が異なる場合がある。
問題: 測定 outcome \(-1\) を post-select せずに扱える理由を述べよ。
Clifford 測定 pattern では outcome の符号は byproduct Pauli として classical frame に記録できる。-1 は失敗ではなく、異なる射影 sector と feed-forward 分岐を意味する。
問題: lattice surgery CNOT が物理 transversal CNOT でないことを説明せよ。
実装は \(Z_CZ_A\), \(X_AX_T\), \(Z_A\) の logical measurements と Pauli frame correction から成る測定型 protocol。data qubit 間に横断的な CNOT を直接適用しない。
問題: logical \(Z\) の destructive measurement で、最後の data-qubit Z product だけを使うのが危険な理由は何か。
最後の data measurement には測定エラーが含まれる。直前の syndrome history と終端 detector を合わせて decoder にかけ、logical observable flip を補正する必要がある。
問題: surgery 仕様書に rough/smooth 名称だけを書くべきでない理由は何か。
rough/smooth は文献や patch orientation で convention が異なる可能性がある。seam check type、routing 初期化 basis、split basis、出力 observable support を明記しないと誤実装の危険がある。
問題: seam observable support を GF(2) で合成するとはどういうことか。
各物理 check の support を binary vector とし、その GF(2) 和が目的の logical support に stabilizer/gauge support を足したものになるような係数ベクトルを解くこと。欠陥や変形 patch では可解性判定にも使える。
問題: X型 surgery の parity bit を反転し得る data error の型は何か。
X-type checks に syndrome を出すのは Z-type physical errors なので、Z error chain が X型 surgery observable \(X_AX_B\) の推定を誤らせ得る。
問題: Z型 surgery の parity bit を反転し得る data error の型は何か。
Z-type checks に syndrome を出すのは X-type physical errors なので、X error chain が \(Z_AZ_B\) observable の推定を誤らせ得る。
問題: 長い bus で遠い patch を接続する場合の主なコストを述べよ。
space-time volume が bus 長、seam checks 数、測定ラウンド数に比例して増える。bus 内部に意図しない logical degree が生じない設計と、十分な距離の保持が必要。
問題: patch movement を surgery と同じ言葉で説明せよ。
一方の境界を新しい checks で伸ばし、他方を data measurement で削る gauge fixing/deformation と見なせる。logical operator representative は移動するが frame で同一 logical qubit として追跡する。
問題: \(X_AX_B\) 測定は \(Z_AZ_B\) と可換か。
可換である。共有 qubit A で X と Z が反交換、共有 qubit B でも反交換し、合計2回の反交換なので全体として可換。
問題: \(X_AX_B\) 測定は \(Z_A\) と可換か。
反交換する。共有 qubit A で \(X_A\) と \(Z_A\) が反交換し、他に相殺する反交換がない。従って \(X_AX_B\) 測定は \(Z_A\) 単体の情報を保持しない。
問題: routing qubit を間違った basis で初期化した場合、何が破綻し得るか。
意図した gauge fixing 条件と split 測定 basis が一致せず、測定したい logical product 以外のランダム frame/未知情報が混入する。初期化 basis、seam check type、split basis は三点セット。
問題: Clifford frame で Y を含む product 測定を扱う基本方針を述べよ。
\(Y=iXZ\) を、logical S/H frame 変換で X または Z の測定に写す。位相と符号 convention を classical frame に入れ、実際の surgery は X型/Z型の組み合わせとして実装する。
問題: CNOT pattern の正しさを Pauli tableau で確認するとき、示すべき4つの変換は何か。
\(X_C\mapsto X_CX_T\), \(Z_C\mapsto Z_C\), \(X_T\mapsto X_T\), \(Z_T\mapsto Z_CZ_T\) を、byproduct correction 後に満たすことを示す。
問題: surgery 操作距離を評価する際に見るべき3要素を挙げよ。
例: seam の空間的長さ/形状、測定ラウンド数 \(d_m\) による時間方向距離、circuit-level schedule による hook error の向き。さらに decoder graph と boundary detectors も確認する。
以下を説明できれば、lattice surgery の物理層から論理層への対応はかなり固まっています。
本レポートは、下記の文献・実装系解説を参照しつつ、物理チェックの切替、logical observable の同定、Pauli frame の処理を教育目的に再構成したものです。文献により rough/smooth の命名や patch の向きが異なることがあるため、本文では必ず「X型 seam surgery」「Z型 seam surgery」のように、測る論理演算子と物理チェック型を明示します。