resonator の one-tone spectroscopy と qubit の two-tone spectroscopy を、分散 readout の物理、フィットモデル、推定バイアス、実験手順、インタラクティブな線形シミュレータとして整理する。
CW 測定で得る周波数は「裸の固有周波数」ではなく、測定条件に依存する dressed frequency であることが実務上の要点である。
readout line に CW probe を入れ、probe 周波数を掃引して \(S_{21}(\omega)\) または \(S_{11}(\omega)\) の complex response を測る。推定対象は主に \(\omega_r^g\), \(\kappa\), \(Q_l\)、必要に応じて \(\omega_r^e\) と \(2\chi\) である。
readout resonator を固定周波数で監視しながら、qubit drive の CW 周波数 \(\omega_d\) を掃引する two-tone spectroscopy。qubit が共鳴すると population が変わり、それが readout IQ の変化として現れる。
| 観点 | Resonator one-tone | Qubit two-tone |
|---|---|---|
| 掃引する周波数 | readout probe \(\omega_p\) | qubit drive \(\omega_d\) |
| 測定される信号 | \(S_{21}\), \(S_{11}\), または complex IQ | 固定 readout tone での IQ 変化 |
| 基本線形 | complex Lorentzian / circle / notch | Lorentzian, Voigt, saturation curve |
| 主なバイアス | 背景伝送、thermal population、過大 photon number、Purcell filter hybridization | AC Stark shift、power broadening、ZZ shift、drive leakage、隣接 qubit 状態 |
| 最終用途 | readout 周波数・線幅・\(\chi\) の校正 | \(\omega_{01}\) の coarse calibration。fine tune は Ramsey が基本 |
resonator 推定と qubit 推定は、同じ dispersive Hamiltonian の別々の切り口である。
qubit-resonator detuning が結合 \(g\) より十分大きい分散領域では、低エネルギー有効 Hamiltonian は概略次の形で書ける。
このため resonator は qubit 状態に応じて
のように見える。符号は \(\sigma_z\) と \(\chi\) の convention に依存するので、実験ノートでは必ず「\(\omega_r^g\) と \(\omega_r^e\) のどちらが高いか」を記録する。
transmon を Duffing oscillator と見たとき、\(\Delta=\omega_{01}-\omega_r\), \(\alpha=\omega_{12}-\omega_{01}\) として、よく使う近似は
transmon では通常 \(\alpha<0\)。\(|\Delta|\) を小さくすると \(|\chi|\) は大きくなるが、Purcell decay、非線形性、measurement-induced transition、frequency collision のリスクも増える。
resonator 内平均 photon 数 \(\bar n\) がゼロでないと、qubit transition も AC Stark shift を受ける。
したがって two-tone spectroscopy の中心周波数は、readout tone の power と detuning に依存する。精密値が必要な場合は、readout power を変えて中心を測り、\(\bar n\to0\) へ外挿する。
最も堅牢な推定は magnitude dip の読み取りではなく、complex IQ 全体のモデルフィットである。
probe 周波数 \(\omega_p\) を掃引し、各点で \(z(\omega_p)=I+iQ\) を取得する。透過型では \(S_{21}\)、反射型では \(S_{11}\) として扱う。低 power scan では、qubit がほぼ \(|g\rangle\) にあるなら単一 dressed resonator が見える。
hanger/notch 型の実データには cable delay と background が含まれるため、例えば次のようなモデルを使う。
単に \(|S_{21}|\) の dip 最小点を「resonator 周波数」とするのは粗い。ケーブル背景、asymmetry、thermal population があると中心に bias が入る。
readout tone は観測器、qubit drive は掃引対象。CW の中心は power と photon number によって動く。
2 準位近似の optical Bloch equation では、qubit drive detuning \(\Delta_q=\omega_d-\omega_{01}\) に対して
弱 drive では Lorentzian に近い。強 drive では saturation し、線幅は power broadening する。
two-tone の raw IQ をそのまま magnitude にすると、背景や phase drift の影響を受ける。\(|g\rangle\), \(|e\rangle\) の readout cloud が既知なら、識別軸に射影する。
この \(y_k\) に Lorentzian, Voigt, saturation model などを fit して \(\hat\omega_{01}^{\rm CW}\) を得る。
| 観測 | 主な原因 | 対処 |
|---|---|---|
| 中心が readout power で動く | AC Stark shift: \(\delta\omega_q\simeq2\chi\bar n\) | readout power sweep で \(\bar n\to0\) 外挿 |
| 線幅が drive power とともに増える | power broadening / saturation | 弱 drive に戻す、または saturation model で fit |
| 線が split する | 隣接 qubit の ZZ 状態依存 shift、thermal population、TLS | 隣接 qubit state preparation、温度・reset・スペクトルの再確認 |
| 余分な線が見える | \(|1\rangle\to|2\rangle\)、two-photon transition、package mode | power dependence と flux dependence で同定 |
| 見えない | readout contrast 不足、drive line attenuation 誤り、scan 範囲不足 | resonator readout を先に最適化、coarse scan を広げる |
下の可視化は概念理解用の簡略モデルであり、実機データの最終フィットには背景・遅延・フィルタ・ノイズモデルを含める。
ここでは \(\Gamma\) は MHz 単位の HWHM として扱う簡略表示。実データでは \(T_1\), \(T_2^*\), drive calibration, flux noise, readout photon number を独立に測る。
「見えた線」をそのまま周波数にせず、power dependence と状態依存性を確認する。
thermal population か \(2\chi\) resolved。
AC Stark / Kerr / heating。
power broadening / drift。
TLS / leakage / package mode。
Gaussian noise を仮定すると、周波数推定の情報量は応答曲線の周波数微分で決まる。
直感的には、線幅が狭い、SNR が高い、周波数点が傾きの大きい場所に十分配置されている、という条件で統計誤差は小さくなる。ただし実機では、統計誤差よりも drift、power-dependent shift、thermal population、モデル不一致が支配的になりやすい。
実装では complex data を使い、背景項と物理パラメータを分離する。以下は考え方を示す擬似コードである。
# complex resonator spectroscopy
# input: f_Hz, z = I + 1j*Q
# 1. remove/fit cable delay if needed
# 2. initialize fr from dip/phase rotation
# 3. fit complex notch model
def S21(f, fr, Ql, Qc_abs, phi_c, amp, phi, tau, b0_re, b0_im):
x = f / fr - 1.0
bg = amp * exp(1j * (phi + 2*pi*f*tau))
notch = 1 - (Ql/Qc_abs) * exp(1j*phi_c) / (1 + 2j*Ql*x)
return (b0_re + 1j*b0_im) + bg * notch
# minimize sum(abs(z - S21(f, *theta))**2)
# report fr, kappa = fr/Ql, Ql, residuals# two-tone qubit spectroscopy
# input: fd_Hz, z = I + 1j*Q
# 1. project IQ onto readout discrimination axis
u = (mu_e - mu_g) / abs(mu_e - mu_g)
y = real((z - z_ref) * conj(u))
# 2. weak-drive Lorentzian or saturation model
def lorentz(fd, f01, gamma, amp, offset, slope):
x = (fd - f01) / gamma
return offset + slope*(fd-f01) + amp / (1 + x*x)
# 3. repeat for several qubit/readout powers
# center vs readout photon number -> extrapolate nbar -> 0
# center vs qubit drive power -> check power broadening / shifts本文は以下の cQED・readout・制御関連文献の内容を背景として構成した。