Mathematically explicit + physically interpreted

Cross-Resonance Gate
詳細レポート

固定周波数トランズモン量子ビットにおける all-microwave エンタングリングゲートの導出、近似、物理的直観、echo による不要項除去、設計上のトレードオフを一つの HTML に整理した。

主相互作用条件付きターゲット回転：\(ZX\)

利点固定周波数・flux pulse 不要・マイクロ波のみ

主要リスクleakage, static ZZ, crosstalk, spectator error

実装単位Echoed CR + 単一量子ビット回転 → CNOT

0. 要約

Cross-Resonance（CR）ゲートは、静的に結合した二つの固定周波数トランズモンのうち、制御 qubit（control）を標的 qubit（target）の遷移周波数で駆動することで、標的 qubit の回転速度を control の状態に依存させる二量子ビットゲートである。理想化された二準位模型では、target 周波数で control を駆動したときの有効 Hamiltonian は、主要項として

\[ H_{\mathrm{CR}}^{(q)}=\frac{\Delta-\sqrt{\Delta^2+\Omega^2}}{2} ZI -\frac{J\Omega}{\sqrt{\Delta^2+\Omega^2}}\frac{ZX}{2}+O(J^2/s),\qquad s=\sqrt{\Delta^2+\Omega^2}. \]

ここで \(\Delta=\tilde\omega_c-\tilde\omega_t\)、\(J\) は交換結合、\(\Omega\) は control に入る CR drive の Rabi 振幅である。弱駆動 \(|\Omega|\ll |\Delta|\) では \(\omega_{ZX}\simeq -J\Omega/\Delta\) となり、結合によって「control drive が target に少し漏れて見える」ことが条件付き target 回転の物理的起源である。

実際の transmon は有限の非調和性 \(\delta_j\) を持つため、高準位を仮想的に経由する項が重要になる。弱駆動・摂動領域では、線形の \(ZX\) 係数は概ね

\[ \omega_{ZX}^{\mathrm{linear}}=-\frac{J\Omega}{\Delta}\frac{\delta_c}{\delta_c+\Delta}, \]

となる。この式は、\(\delta_c\to\infty\) で理想 qubit の結果へ、\(\delta_c\to 0\) で調和振動子の結果 \(\omega_{ZX}\to 0\) へ滑らかに移る。つまり、CR のエンタングル能力は「完全な二準位性」ではなく「有限だが十分な非調和性」に依存する。

実装の標準形： 実験では CR パルス単体では \(IX, ZI, ZZ, IY\) などの不要項が混ざる。したがって通常は echoed cross-resonance（ECR） で不要な単一 qubit 回転と static \(ZZ\) をキャンセルし、残った \(ZX\) エンタングラーを単一 qubit 回転で CNOT へ変換する。

1. 記法と前提

記法

\(\hbar=1\)。すべて角周波数で書く。数値表示では \(/2\pi\) MHz も併記する。
control を添字 \(c\) または 1、target を添字 \(t\) または 2 とする。
Pauli 積は \(AB=A_c\otimes B_t\)。例：\(ZX=Z_c\otimes X_t\)。
トランズモンの \(0\to1\) dressed 周波数を \(\tilde\omega_j\)、非調和性を \(\delta_j\;(<0)\)、離調を \(\Delta=\tilde\omega_c-\tilde\omega_t\) とする。
\(J\) は二つの transmon 間の交換結合 \(J(b_c^\dagger b_t+b_cb_t^\dagger)\)。
\(\Omega\) は CR drive が control に与える in-phase Rabi 振幅。

近似の一覧

近似	条件	無視するもの
RWA	駆動・結合強度が qubit 周波数より十分小さい	\(e^{\pm i(\omega_i+\omega_j)t}\) で高速回転する項
分散近似	\(\|g_j/(\bar\omega_j-\omega_r)\|\ll1\)	実 resonator photon 交換
block diagonalization	不要ブロック間のエネルギー差が結合・駆動より大きい	ブロック間遷移、ただし仮想遷移は有効項として残る
弱駆動摂動	\(\|\Omega/\Delta\|\ll1\) かつ高準位衝突から離れる	高次 \(\Omega^3,\Omega^5,\dots\) あるいは leakage

このレポートでは、数式の係数を Hamiltonian に \(\omega_{AB} AB/2\) として入る係数 \(\omega_{AB}\) として読む。文献によって \(ZZ/4\) または \(ZZ/2\) の係数を用いるので、static \(ZZ\) については条件付き周波数シフト \(\zeta=E_{11}-E_{10}-E_{01}+E_{00}\) も明示する。

2. 物理的直観：なぜ control を target 周波数で駆動すると entangle するのか

図1：静的結合 \(J\) により、固有状態は完全な \(|10\rangle,|01\rangle\) ではなく少し混ざる。したがって control に入れた target 周波数の drive が、target の遷移行列要素を条件付きで持つ。

直観の核

二つの transmon が交換結合 \(J\) で結ばれていると、裸状態 \(|10\rangle\) と \(|01\rangle\) は完全には独立でない。離調 \(\Delta\) が大きければ混合角は概ね \(J/\Delta\) と小さいが、ゼロではない。

control を target 周波数で駆動すると、裸の control には off-resonant な drive である。しかし固有状態には target 成分が混ざっているため、target の回転として見える遷移振幅が生じる。さらに、その遷移振幅の符号または大きさが control の状態に依存するため、\(IX\) ではなく \(ZX\) 成分が残る。

重要： 二つの完全な調和振動子だけではエンタングリングゲートは作れない。有限非調和性があるから、計算部分空間に非線形な条件付き相互作用を作れる。

3. circuit-QED から二 transmon 有効 Hamiltonian へ

3.1 出発点：二つの Duffing transmon と bus resonator

標準的な circuit-QED 模型では、transmon を Duffing oscillator、bus resonator を調和振動子として

(1)\[ H_{\rm sys}=\sum_{j=1}^{2}\left[\bar\omega_j b_j^\dagger b_j+\frac{\delta_j}{2}b_j^\dagger b_j(b_j^\dagger b_j-1)\right] +\omega_r c^\dagger c+ \sum_{j=1}^2 g_j(b_j^\dagger c+b_jc^\dagger). \]

ここで \(b_j\) は transmon の lowering operator、\(c\) は resonator の lowering operator。すでに qubit-resonator coupling について RWA を行っており、反回転項 \(b_j^\dagger c^\dagger\) と \(b_j c\) は捨てている。

3.2 Schrieffer-Wolff 変換による resonator の消去

分散領域 \(|g_j/\Delta_{jr}|\ll1\)、\(\Delta_{jr}=\bar\omega_j-\omega_r\) では、resonator は実励起されず仮想的に交換を媒介する。\(H=H_0+V\) として

\[ V=\sum_j g_j(b_j^\dagger c+b_jc^\dagger),\qquad S=\sum_j\frac{g_j}{\Delta_{jr}}(b_j^\dagger c-b_jc^\dagger) \]

を選ぶと、\([S,H_0]=-V\)。Baker-Campbell-Hausdorff 展開より

\[ e^SHe^{-S}=H_0+V+[S,H_0]+[S,V]+\frac12[S,[S,H_0]]+O(g^3/\Delta^2) =H_0+\frac12[S,V]+O(g^3/\Delta^2). \]

交差項 \(j\ne k\) について、resonator 真空へ射影すると

\[ \frac12[S_j,V_k]+\frac12[S_k,V_j] \longrightarrow \frac{g_jg_k}{2}\left(\frac1{\Delta_{jr}}+\frac1{\Delta_{kr}}\right)(b_j^\dagger b_k+b_jb_k^\dagger). \]

したがって、bus を消去した二 transmon Hamiltonian は最低次で

(2)\[ H_{\rm sys}^{(0)}=\sum_{j=1}^2\left[\tilde\omega_j b_j^\dagger b_j+\frac{\delta_j}{2}b_j^\dagger b_j(b_j^\dagger b_j-1)\right] +J(b_c^\dagger b_t+b_cb_t^\dagger), \]

(3)\[ J=\frac{g_cg_t}{2}\left(\frac1{\bar\omega_c-\omega_r}+\frac1{\bar\omega_t-\omega_r}\right) =\frac{g_cg_t(\bar\omega_c+\bar\omega_t-2\omega_r)}{2(\bar\omega_c-\omega_r)(\bar\omega_t-\omega_r)}. \]

drive Hamiltonian は

(4)\[ H_d=\sum_{j=c,t}\left[\Omega_{Xj}(t)\cos(\omega_{dj}t)+\Omega_{Yj}(t)\sin(\omega_{dj}t)\right](b_j^\dagger+b_j). \]

CR では第一近似として、control の \(X\) quadrature のみを target 周波数で駆動する：

(5)\[ H_T=H_{\rm sys}^{(0)}+\Omega(t)\cos(\omega_dt)(b_c^\dagger+b_c), \qquad \omega_d\simeq \tilde\omega_t. \]

4. 理想二準位 qubit 模型の導出

有限非調和性の複雑さを一旦消し、\(|0\rangle,|1\rangle\) だけが存在する理想 qubit を考える。この節の目的は、CR の中核である \(ZX\) がどのように生じるかを、途中計算を省かずに示すことである。

4.1 target 周波数で回転する座標系

\(b_j\) を二準位 lowering operator とし、\(\omega_d=\tilde\omega_t\)、\(\Omega(t)=\Omega\) 一定とする。出発点は

(6)\[ H_T=\sum_{j=c,t}\tilde\omega_j b_j^\dagger b_j+J(b_c^\dagger b_t+b_cb_t^\dagger)+\Omega\cos(\tilde\omega_t t)(b_c^\dagger+b_c). \]

両 qubit に対して

\[ R(t)=\exp[-i\tilde\omega_t(b_c^\dagger b_c+b_t^\dagger b_t)t] \]

で回転座標系へ移ると

\[ H_R=R^\dagger H_TR-iR^\dagger\dot R. \]

drive 項について \(\cos(\tilde\omega_t t)=(e^{i\tilde\omega_t t}+e^{-i\tilde\omega_t t})/2\) を使う。例えば \(R^\dagger b_c R=b_c e^{-i\tilde\omega_t t}\) なので、\(b_c\) に掛かる \(e^{-i\tilde\omega_t t}\cos\tilde\omega_t t\) は定数成分と \(e^{-2i\tilde\omega_t t}\) 成分に分かれる。RWA で後者を捨てると \(\Omega(b_c^\dagger+b_c)/2\) が残る。したがって

(7)\[ H_R=\Delta b_c^\dagger b_c+J(b_c^\dagger b_t+b_cb_t^\dagger)+\frac{\Omega}{2}(b_c^\dagger+b_c),\qquad \Delta=\tilde\omega_c-\tilde\omega_t. \]

基底 \(\{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\}\) では

(8)\[ H_R=\begin{pmatrix} 0&0&\Omega/2&0\\ 0&0&J&\Omega/2\\ \Omega/2&J&\Delta&0\\ 0&\Omega/2&0&\Delta \end{pmatrix}. \]

4.2 Pauli 表現と control dressed basis

二準位で \(b^\dagger b=(I-Z)/2\), \(b^\dagger+b=X\), \(b_c^\dagger b_t+b_cb_t^\dagger=(XX+YY)/2\)。恒等項を除いて

(9)\[ H_R=\underbrace{\frac{\Omega X_c-\Delta Z_c}{2}}_{H_0} +\underbrace{\frac{J}{2}(X_cX_t+Y_cY_t)}_{V} +\frac{\Delta}{2}II. \]

control のみの項 \(H_0\) を厳密に対角化する。\(s=\sqrt{\Delta^2+\Omega^2}\) と置き、

\[ \cos\theta=\frac{\Delta}{s},\qquad \sin\theta=\frac{\Omega}{s},\qquad U_y=e^{-i\theta Y_c/2} \]

を用いる。Pauli の回転公式

\[ U_y X_cU_y^\dagger=X_c\cos\theta-Z_c\sin\theta,\qquad U_y Z_cU_y^\dagger=Z_c\cos\theta+X_c\sin\theta \]

より

\[ U_yH_0U_y^\dagger =\frac{(\Omega\cos\theta-\Delta\sin\theta)X_c-(\Omega\sin\theta+\Delta\cos\theta)Z_c}{2} =-\frac{s}{2}Z_c. \]

相互作用項は

(10)\[ U_y VU_y^\dagger=\frac{J}{2}\left[(X_c\cos\theta-Z_c\sin\theta)X_t+Y_cY_t\right]. \]

4.3 ブロック対角化と \(ZX\) 項

式 (10) のうち \(X_cX_t\) と \(Y_cY_t\) は dressed control 状態を反転する。dressed control のエネルギー分裂は \(s\) なので、\(|J|\ll s\) であればこれらは off-resonant であり、一次の有効 Hamiltonian では落とせる。残るブロック対角項は

(11)\[ V_{\rm bd}=-\frac{J}{2}\sin\theta\; Z_cX_t=-\frac{J\Omega}{2\sqrt{\Delta^2+\Omega^2}}ZX. \]

control drive による dressed energy のずれは、物理フレームへ戻す規約では

(12)\[ H_{\rm Stark}=\frac{\Delta-s}{2}ZI, \qquad s=\sqrt{\Delta^2+\Omega^2} \]

となる。したがって理想 qubit 模型の CR Hamiltonian は

(13)\[ \boxed{\;H_{\rm CR}^{(q)}=\frac{\Delta-\sqrt{\Delta^2+\Omega^2}}{2}ZI -\frac{J\Omega}{\sqrt{\Delta^2+\Omega^2}}\frac{ZX}{2}\;}. \]

近似の明示： 式 (13) は \(\Omega/\Delta\) については非摂動的だが、\(J/s\) については一次のブロック対角化である。より高次には \(O(J^2/s)\) の補正がある。また \(\Delta>0\) の周波数配置を基準に書いた。逆配置では \(\Omega\to0\) で Stark 項がゼロになるよう signed branch を選ぶ。

4.4 弱駆動極限とゲート時間

\(|\Omega|\ll |\Delta|\) なら

\[ \sqrt{\Delta^2+\Omega^2}=|\Delta|\left(1+\frac{\Omega^2}{2\Delta^2}+O(\Omega^4/\Delta^4)\right), \]

したがって \(\Delta>0\) で

(14)\[ \omega_{ZX}^{(q)}=-\frac{J\Omega}{\sqrt{\Delta^2+\Omega^2}} =-\frac{J\Omega}{\Delta}+O\!\left(\frac{J\Omega^3}{\Delta^3}\right), \qquad \omega_{ZI}\simeq -\frac{\Omega^2}{2\Delta}. \]

Hamiltonian が \(H\supset\omega_{ZX}ZX/2\) なら、\(ZX_{\pi/2}=\exp[-i(\pi/4)ZX]\) を得る時間は

(15)\[ t_{ZX_{\pi/2}}=\frac{\pi}{2|\omega_{ZX}|}. \]

周波数表示 \(f_{ZX}=\omega_{ZX}/2\pi\) MHz では \(t\,[\mathrm{ns}]=250/|f_{ZX}\,[\mathrm{MHz}]|\)。

5. 有限非調和性と高準位補正

5.1 static \(ZZ\)：高準位を仮想的に経由した条件付き周波数シフト

transmon は Duffing oscillator なので \(|2\rangle\) 以上が存在する。\(|11\rangle\) は \(|20\rangle\), \(|02\rangle\) と \(\sqrt2J\) で結合し、二次摂動で条件付きエネルギーシフトを受ける。条件付き周波数シフトを

\[ \zeta=E_{11}-E_{10}-E_{01}+E_{00} \]

と定義すると、最低次で

(16)\[ \boxed{\;\zeta\simeq 2J^2\left(\frac{1}{\Delta-\delta_t}-\frac{1}{\Delta+ \delta_c}\right)= -\frac{2J^2(\delta_c+\delta_t)}{(\Delta+ \delta_c)(\delta_t-\Delta)}\;}. \]

Hamiltonian を \(H\supset(\zeta/4)ZZ\) と書く文献もあれば、\(H\supset\xi ZZ/2\) と書く文献もある。後者なら \(\xi=\zeta/2\)。

5.2 CR drive を加えた有効 Pauli 展開

高準位を含めた後、dressing unitary \(U\) で \(H_{\rm sys}^{(0)}\) を対角化し、drive operator を \(\tilde B_j=U^\dagger(b_j^\dagger+b_j)U\) に写す。target 周波数近くの回転座標系で RWA を行うと、計算部分空間の有効 Hamiltonian は一般に

(17)\[ H_{\rm eff}=\frac12\Big( \omega_{IX}IX+\omega_{IY}IY+\omega_{IZ}IZ+\omega_{ZI}ZI+\omega_{ZX}ZX+\omega_{ZY}ZY+\omega_{ZZ}ZZ \Big)+\cdots \]

と展開できる。単一の in-phase CR drive だけを仮定する理想化モデルでは、主に \(A\otimes B\), \(A\in\{I,Z\}\), \(B\in\{I,X,Z\}\) の項が現れる。すなわち \(IX,ZX,IZ,ZZ,ZI\) が典型的で、\(IY\) は理想モデルでは出ない。

5.3 弱駆動摂動の \(ZX\) 係数

\(|\Omega/\Delta|\ll1\) かつ周波数衝突から離れた領域では、Hamiltonian の \(ZX/2\) に掛かる係数は、一次で

(18)\[ \boxed{\;\omega_{ZX}^{\rm linear}=-\frac{J\Omega}{\Delta}\frac{\delta_c}{\delta_c+\Delta}\;}. \]

この式は重要である：

\(\delta_c\to\infty\)：\(\omega_{ZX}\to -J\Omega/\Delta\)。理想 qubit の弱駆動極限。
\(\delta_c\to0\)：\(\omega_{ZX}\to0\)。二つの調和振動子では entanglement を生成できない。
\(\Delta\approx -\delta_c\)：分母が小さくなり摂動が破綻する。これは \(\omega_{01}^{(t)}\approx\omega_{12}^{(c)}\) 型の衝突に対応する。

三次補正まで含めると、同じ係数は

(19)\[ \omega_{ZX}^{(3)}=\omega_{ZX}^{\rm linear} +\frac{J\Omega^3\delta_c^2(3\delta_c^3+11\delta_c^2\Delta+15\delta_c\Delta^2+9\Delta^3)} {2\Delta^3(\delta_c+\Delta)^3(\delta_c+2\Delta)(3\delta_c+2\Delta)}. \]

避けるべき pole： 式 (19) は \(\Delta=0,-\delta_c/2,-\delta_c,-3\delta_c/2\) に pole を持つ。これらは qubit 同士の共鳴、\(01\leftrightarrow12\) 衝突、二光子過程に対応する。周波数配置設計では CR 速度だけでなく、これらの衝突からの距離を確保する。

5.4 なぜ \(IX\) が大きく出るのか

有限非調和性を持つ transmon では、dressed operator \(\tilde B_c\) が計算空間内で単純な \(X_c\) だけでなく target 側の有効回転成分も持つ。これにより \(ZX\) と同時に、制御状態に依存しない target 回転 \(IX\) も発生する。\(IX\) は entangling ではないが、target に余分な回転を与えるため、そのままでは CNOT にならない。これを echo や cancellation pulse で除去する。

6. Echoed CR と CNOT 化

6.1 Echo の符号計算

単純化して CR Hamiltonian を

\[ H(+)=\frac12(\omega_{IX}IX+\omega_{ZX}ZX+\omega_{ZI}ZI+\omega_{ZZ}ZZ)+\cdots \]

とする。drive 符号を反転した \(H(-)\) では、drive に奇な \(IX,ZX\) は符号反転し、drive に偶な Stark 項や static \(ZZ\) は概ね反転しない。途中で control に \(X_\pi\) を挿入すると、\(X_c Z_c X_c=-Z_c\)、\(X_c I_c X_c=I_c\) である。したがって、二つの half pulse の平均 Hamiltonian は概略

\[ \bar H\simeq\frac12\left[H(+)+X_cH(-)X_c\right]. \]

項	drive 符号反転	control \(X_\pi\) toggling	Echo 後	意味
\(IX\)	\(-IX\)	不変	キャンセル	target の直接回転を抑える
\(ZX\)	\(-ZX\)	\(Z\to-Z\)	加算	必要な entangler
\(ZI\)	ほぼ不変	\(Z\to-Z\)	キャンセル	control Stark shift を抑える
static \(ZZ\)	不変	\(Z\to-Z\)	キャンセル	idle/crosstalk を抑える
\(IY\)	通常は奇	不変	条件付きでキャンセル	crosstalk 位相に依存
\(ZY\)	通常は奇	\(Z\to-Z\)	加算し得る	rotary/cancellation で補正

6.2 \(ZX_{\pi/2}\) から CNOT へ

CR echo で

\[ U_{ZX}(\pi/2)=\exp[-i(\pi/4)ZX] \]

が得られれば、これは local rotation まで CNOT と等価である。実際、

(20)\[ \mathrm{CNOT}_{c\to t} =e^{-i\pi/4}\,R_z^{(c)}(-\pi/2)\,R_x^{(t)}(-\pi/2)\,U_{ZX}(\pi/2). \]

なぜなら

\[ \mathrm{CNOT}=\exp\left[-i\frac{\pi}{4}(II-IX-ZI+ZX)\right] =e^{-i\pi/4}e^{i\pi IX/4}e^{i\pi ZI/4}e^{-i\pi ZX/4}, \]

かつ \(R_x(\theta)=e^{-i\theta X/2}\), \(R_z(\theta)=e^{-i\theta Z/2}\) だからである。

6.3 Crosstalk のモデル

実機では、control line に入れた CR drive が microwave crosstalk により target にも直接入る。この場合、drive は

(21)\[ \tilde H_d=\Omega(t)\cos(\omega_dt+\phi_c)\tilde B_c +A\Omega(t)\cos(\omega_dt+\phi_t)\tilde B_t \]

のように書ける。\(A\) は target へ漏れる相対振幅、\(\phi_t\) は位相遅れである。target へ直接入る quadrature が \(IY\) を作るため、単純な CR model にはない大きな \(IY\) が実験で見えることがある。これは Hamiltonian tomography と cancellation tone の重要性を示す。

7. パラメータ探索：\(ZX\) レート・gate time・衝突点

下のスライダーは、理想 qubit 式と有限非調和性の一次式を比較するための簡易 simulator である。単位はすべて \(/2\pi\) MHz。実機設計値を正確に予測するものではなく、スケーリングと危険領域の直観を掴むためのもの。

交換結合 \(J/2\pi\) [MHz]: 3.8 離調 \(\Delta/2\pi\) [MHz]: 200 CR drive \(\Omega/2\pi\) [MHz]: 35 control 非調和性 \(\delta_c/2\pi\) [MHz]: -330

理想 qubit \(f_{ZX}\)—

transmon 一次 \(f_{ZX}\)—

理想 gate time—

static \(\zeta\) 目安—

衝突判定を表示。

drive sweep

detuning map

Pauli bars

\(\Omega\) に対する \(f_{ZX}\)。青：理想 qubit、橙：transmon 一次式。

\(\Delta\) に対する transmon 一次 \(f_{ZX}\) と pole 位置。縦線は \(-\delta_c/2,-\delta_c,-3\delta_c/2\)。

簡易 Pauli 係数バー。\(IX\) は実機で cancellation の対象、\(ZX\) が entangler。

8. 誤差・校正・設計指針

主なコヒーレント誤差

\(IX/IY\)：target の直接回転。crosstalk、drive の位相ずれ、dressed operator に由来。
\(ZI\)：control の ac Stark shift。echo で抑えるが残差は virtual Z で補正。
\(ZZ\)：static または drive-induced。spectator qubit と組み合わさると並列実行時の誤差になる。
\(ZY\)：quadrature miscalibration や rotary tone で調整が必要。

leakage

CR は target 周波数で control を強く駆動するため、\(|1\rangle\to|2\rangle\) 近傍の遷移や二光子過程に近いと leakage が増える。高非調和性は leakage 低減に有利だが、transmon では \(|\delta|\) が有限であるため pulse shaping と amplitude 制限が必要。

校正フロー

CR amplitude と pulse length を sweep して target Rabi rate を測る。
partial Hamiltonian tomography で \(IX,IY,IZ,ZX,ZY,ZZ\) を推定する。
echo、target cancellation pulse、rotary tone、virtual Z を調整する。
interleaved/randomized benchmarking や cycle benchmarking で実効エラーを評価する。

設計のトレードオフ

設計量	速い CR にする方向	副作用	実務上の指針
\(J\)	大きいほど \(\|\omega_{ZX}\|\) が増える	static \(ZZ\sim J^2\)、spectator coupling も増える	速度と idle error の最適点を選ぶ
\(\|\Delta\|\)	小さいほど \(\|J\Omega/\Delta\|\) が増える	周波数衝突、leakage、addressability 低下	\(0,-\delta/2,-\delta,-3\delta/2\) 近傍を避ける
\(\|\Omega\|\)	大きいほど速い	RWA 破綻、leakage、crosstalk、nonlinear Stark shift	echo と pulse shaping を含めて最適化
\(\|\delta\|\)	大きいほど理想 qubit に近づく	デバイス設計上、charge dispersion や周波数帯域との兼ね合い	transmon では有限性を前提に補正設計

9. 数学補遺：block diagonal Hamiltonian の一般式

9.1 摂動的 Schrieffer-Wolff / canonical transformation

Hilbert 空間を射影 \(P\) と \(Q=I-P\) の直和に分け、

\[ H=H_0+\lambda V,\qquad [H_0,P]=0 \]

とする。\(V=V_{\rm bd}+V_{\rm od}\)、すなわち block diagonal 成分と off-diagonal 成分へ分ける。unitary \(e^S\)（\(S^\dagger=-S\)）で off-diagonal を消したい。\(S=\lambda S_1+\lambda^2S_2+\cdots\) と展開すると

\[ H_{\rm eff}=e^SHe^{-S}=H_0+\lambda(V+[S_1,H_0]) +\lambda^2\left([S_1,V]+[S_2,H_0]+\frac12[S_1,[S_1,H_0]]\right)+\cdots. \]

一次の off-diagonal を消す条件は

\[ V_{\rm od}+[S_1,H_0]_{\rm od}=0. \]

\(H_0|m\rangle=E_m|m\rangle\) で、\(|m\rangle,|n\rangle\) が異なる block に属するなら

(22)\[ (S_1)_{mn}=-\frac{(V_{\rm od})_{mn}}{E_m-E_n}. \]

これを代入すると二次までの有効 Hamiltonian は

(23)\[ H_{\rm eff}=H_0+\lambda V_{\rm bd}+\frac{\lambda^2}{2}[S_1,V_{\rm od}]_{\rm bd}+O(\lambda^3). \]

CR の文脈では、block は「control が dressed ground か dressed excited か」、あるいは高準位を含む場合には \(\{|00\rangle,|01\rangle\}\), \(\{|10\rangle,|11\rangle\}\), rest のように選ばれる。off-diagonal の分母が小さい場所が、周波数衝突および leakage の危険点である。

9.2 RWA の誤差スケール

一般に \(H(t)=H_{\rm slow}+V e^{i\nu t}+V^\dagger e^{-i\nu t}\) で \(\|V\|\ll |\nu|\) なら、高速項は一次平均で消え、二次に Bloch-Siegert 型の補正 \(O(\|V\|^2/\nu)\) を残す。CR では主に次を要求する：

\(\Omega, J\ll \omega_c,\omega_t\)：carrier RWA。
\(J\ll s=\sqrt{\Delta^2+\Omega^2}\)：dressed control を反転する項を落とす。
\(\Omega\ll |\Delta|, |\Delta+ \delta_c|, |2\Delta+ \delta_c|, |2\Delta+3\delta_c|\)：高準位摂動式の安全性。

10. 参考文献と対応箇所

略号	文献	本レポートで使った内容
MG20	E. Magesan and J. M. Gambetta, “Effective Hamiltonian models of the cross-resonance gate,” Phys. Rev. A 101, 052308 (2020).	CR の理想 qubit 模型、Duffing transmon 模型、摂動係数、crosstalk model、principle of least action による block diagonalization。
BD04	A. Blais et al., “Cavity quantum electrodynamics for superconducting electrical circuits,” Phys. Rev. A 69, 062320 (2004).	circuit-QED, resonator-mediated coupling, dispersive transformation の基礎。
K20	M. Kjaergaard et al., “Superconducting Qubits: Current State of Play,” Annual Review / arXiv:1905.13641.	superconducting qubit 技術全体、fixed-frequency transmon とゲート実装の背景。
QOC22	C. P. Koch et al., “Quantum optimal control in quantum technologies,” EPJ Quantum Technology 9, 19 (2022).	pulse shaping, calibration, crosstalk mitigation, optimal control の位置付け。

注：この HTML はアップロード済み資料を土台にし、式の convention を本文で統一して再導出した。文献間で \(ZZ\) 係数や Pauli normalization が異なる場合があるため、実装に使う際は自分の制御スタックの Hamiltonian convention に合わせて係数を変換すること。