類体論を「計算できる理論」として理解する

例 2.1：\((\Z/8\Z)^\times\)

\[ (\Z/8\Z)^\times=\{1,3,5,7\}. \] 各非自明元の二乗は \(1\) なので \[ (\Z/8\Z)^\times\simeq C_2\times C_2. \] 一方、\(\zeta_8=e^{2\pi i/8}\) に対して \[ \Gal(\Q(\zeta_8)/\Q)\simeq(\Z/8\Z)^\times,\qquad a\mapsto(\zeta_8\mapsto \zeta_8^a). \] したがって \(\Q(\zeta_8)=\Q(i,\sqrt2)\) は Galois 群 \(C_2\times C_2\) を持つ。 三つの二次中間体は \[ \Q(i),\qquad \Q(\sqrt2),\qquad \Q(\sqrt{-2}) \] である。

例 3.1：Frobenius は \(p\) 乗写像

\(p\nmid m\) を素数とする。\(\Q(\zeta_m)/\Q\) で \[ \Frob_p(\zeta_m)=\zeta_m^p. \] よって \(p\) の分解型は、\((\Z/m\Z)^\times\) における \(p\) の位数で決まる。 \[ f=\ord_m(p) \] なら、 \[ (p)=\p_1\cdots\p_g,\qquad g=\frac{\varphi(m)}{f},\qquad N\p_i=p^f. \]

例 3.2：\(\Q(\zeta_8)\) での分解

例えば \(17\equiv1\pmod8\) なので完全分解し、\(3\equiv3\pmod8\) なので 2 個の次数 2 素イデアルに分解する。

例 4.1：二次体の整数環

\(d\) を平方因子を持たない整数とする。\(K=\Q(\sqrt d)\) では \[ \O_K= \begin{cases} \Z\left[\dfrac{1+\sqrt d}{2}\right],& d\equiv1\pmod4,\\[6pt] \Z[\sqrt d],& d\not\equiv1\pmod4, \end{cases} \] 判別式は \[ D_K= \begin{cases} d,& d\equiv1\pmod4,\\ 4d,& d\not\equiv1\pmod4. \end{cases} \] 例えば \(K=\Q(\sqrt{-5})\) では \[ \O_K=\Z[\sqrt{-5}],\qquad D_K=-20. \]

例 4.2：\(\Q(i)\) の素数分解

\(\O_{\Q(i)}=\Z[i]\)。奇素数 \(p\) について \[ p\equiv1\pmod4 \Longleftrightarrow p\text{ は分解}, \] \[ p\equiv3\pmod4 \Longleftrightarrow p\text{ は惰性}. \] また \[ (2)=(1+i)^2 \] で \(2\) は分岐する。例えば \(5=(2+i)(2-i)\) なので \(5\) は分解し、\(3\) は惰性である。

例 5.1：\(\Q(i)\) の類数は 1

\(K=\Q(i)\) では \(n=2,r_2=1,D_K=-4\)。Minkowski 境界は \[ \left(\frac4\pi\right)\frac{2!}{2^2}\sqrt4=\frac4\pi<2. \] 全てのイデアル類はノルム \(1\) のイデアルを含む。ノルム \(1\) のイデアルは \(\O_K\) だけなので \[ \Cl_{\Q(i)}=1. \]

例 5.2：\(\Q(\sqrt{-5})\) の類群を完全計算する

\(K=\Q(\sqrt{-5})\)、\(\O_K=\Z[\sqrt{-5}]\)、\(D_K=-20\)。Minkowski 境界は \[ \left(\frac4\pi\right)\frac{2!}{2^2}\sqrt{20} =\frac2\pi\sqrt{20}\approx2.85. \] したがって任意のイデアル類はノルム \(1\) または \(2\) の整イデアルを含む。

\(2\mid D_K\) なので \(2\) は分岐する。実際 \[ \p=(2,1+\sqrt{-5}) \] とおくと \(N\p=2\) かつ \[ (2)=\p^2. \] したがって \([\p]^2=1\)。

もし \(\p\) が主イデアルなら \(\p=(\alpha)\) で \(|\Nm(\alpha)|=2\) となる。 しかし \(\alpha=a+b\sqrt{-5}\) なら \[ \Nm(\alpha)=a^2+5b^2, \] そして \[ a^2+5b^2=2 \] は整数解を持たない。よって \(\p\) は非主イデアルである。結論： \[ \Cl_{\Q(\sqrt{-5})}\simeq C_2,\qquad h_K=2. \]

例 5.3：非一意分解をイデアルで修復する

\[ 6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) \] は \(\Z[\sqrt{-5}]\) における非一意分解の古典例である。しかしイデアル分解では \[ (2)=\p_2^2,\qquad \p_2=(2,1+\sqrt{-5}), \] \[ (3)=\p_3\bar\p_3,\qquad \p_3=(3,1+\sqrt{-5}),\quad \bar\p_3=(3,1-\sqrt{-5}), \] さらに \[ (1+\sqrt{-5})=\p_2\p_3,\qquad (1-\sqrt{-5})=\p_2\bar\p_3. \] よって両辺のイデアルはともに \[ (6)=\p_2^2\p_3\bar\p_3 \] であり、一意性は回復される。

例 6.1：\(\Q(\sqrt5)\)

\(D_K=5\)。\(5\equiv1\pmod4\) なので \[ \left(\frac5p\right)=\left(\frac p5\right). \] \(\F_5\) の平方は \(1,4\) だから \[ p\equiv \pm1\pmod5 \Longleftrightarrow p\text{ は分解}, \] \[ p\equiv \pm2\pmod5 \Longleftrightarrow p\text{ は惰性}. \] 例えば \(11\equiv1\pmod5\) は分解し、\(7\equiv2\pmod5\) は惰性である。

例 7.1：\(18/35\)

\[ \frac{18}{35}=\frac{2\cdot3^2}{5\cdot7}. \] したがって \[ v_3(18/35)=2,\quad |18/35|_3=3^{-2}, \] \[ v_5(18/35)=-1,\quad |18/35|_5=5. \]

例 7.2：\(\sqrt2\in\Q_7\)

\(f(x)=x^2-2\)。\(3^2\equiv2\pmod7\)、かつ \(f'(3)=6\not\equiv0\pmod7\)。 よって Hensel により \(x^2=2\) は \(\Q_7\) で解を持つ。 mod \(49\) へ上げるには \(x=3+7t\) とおく： \[ x^2-2=7+42t+49t^2\equiv 7(1+6t)\pmod{49}. \] \(1+6t\equiv0\pmod7\) なので \(t\equiv1\pmod7\)。したがって \[ x\equiv10\pmod{49}. \]

例 8.1：非分岐次数 \(f\) 拡大

\(L/\Q_p\) が非分岐次数 \(f\) 拡大なら剰余体拡大は \[ \F_{p^f}/\F_p \] で、Galois 群は \[ \Gal(L/\Q_p)\simeq C_f. \] 局所 reciprocity は \[ \Q_p^\times/NL^\times\simeq C_f \] を与え、\(p\) の類が Frobenius に対応する。

例 8.2：最大非分岐拡大

\[ \Gal(\Q_p^{ur}/\Q_p)\simeq\widehat{\Z}. \] これは剰余体側の \[ \Gal(\overline{\F}_p/\F_p)\simeq\widehat{\Z} \] に対応する。写像 \[ \Q_p^\times\twoheadrightarrow \Q_p^\times/\Z_p^\times\simeq\Z \] の完備化が \(\widehat{\Z}\) である。

例 9.1：有理数はイデールになる

\(x=18/35\in\Q^\times\) は、全ての場所で同じ \(x\) を入れることで \[ (x_\infty,x_2,x_3,x_5,x_7,\dots) \] というイデールになる。ほとんど全ての素数 \(p\) で \(v_p(x)=0\)、つまり \(x\in\Z_p^\times\) だからである。

例 10.1：\(\Q\) の ray class field

\[ \Cl_{m\infty}(\Q)\simeq(\Z/m\Z)^\times,\qquad \Q_{m\infty}=\Q(\zeta_m). \] \(\infty\) を入れることで、複素円分体そのものが得られる。

例 10.2：二次体の conductor

\(\Q\) 上の二次体 \(\Q(\sqrt d)\) に対応する二次 Dirichlet 文字の conductor は、基本判別式 \(D\) の絶対値である。 \[ \Q(i)\subset\Q(\zeta_4),\quad \text{conductor }4, \] \[ \Q(\sqrt5)\subset\Q(\zeta_5),\quad \text{conductor }5, \] \[ \Q(\sqrt{-5})\subset\Q(\zeta_{20}),\quad \text{conductor }20. \]

例 11.1：\(\Q(i)\)

\(\Cl_{\Q(i)}=1\) なので \[ H_{\Q(i)}=\Q(i). \] 類数 1 の体は、非自明な Hilbert 類体を持たない。

例 11.2：\(K=\Q(\sqrt{-5})\)

すでに \[ \Cl_K\simeq C_2 \] を計算した。したがって \(H_K/K\) は次数 2 の非分岐アーベル拡大である。実は \[ H_K=\Q(\sqrt{-5},\sqrt5)=\Q(i,\sqrt5). \]

非分岐性は判別式で確認できる。双二次体 \(H=\Q(i,\sqrt5)\) の二次部分体は \[ \Q(i),\qquad \Q(\sqrt5),\qquad \Q(\sqrt{-5}) \] で、それぞれの判別式は \[ -4,\qquad 5,\qquad -20. \] 双二次体の判別式は二次部分体の判別式の積なので \[ |D_{H/\Q}|=|-4\cdot5\cdot(-20)|=400. \] 一方 \[ |D_{K/\Q}|^{[H:K]}=20^2=400. \] 相対判別式公式 \[ D_{H/\Q}=D_{K/\Q}^{[H:K]}N_{K/\Q}(\mathfrak D_{H/K}) \] より \(N(\mathfrak D_{H/K})=1\)。したがって \(H/K\) は有限素点で非分岐である。

例 11.3：\(\Q(\sqrt{-5})\) の Hilbert 類体で素数を読む

\(p\nmid20\) について、\(K=\Q(\sqrt{-5})\) での分解は \[ \left(\frac{-20}{p}\right) \] で決まる。さらに \(p\) が \(K\) で分解したとき、上の素イデアルが主なら \(H/K\) で完全分解し、非主なら \(H/K\) で惰性である。

例えば \(p=3\) は \(-20\equiv1\pmod3\) なので \(K\) で分解する。しかし \[ 3\ne a^2+5b^2 \] なので主類ではない。したがって \(H/K\) では惰性である。 一方 \[ 29=3^2+5\cdot2^2 \] なので \(29\) の上の素イデアルは主で、\(H/K\) で完全分解する。

例 12.1：円分体の Artin 記号

\[ \left(\frac{\Q(\zeta_m)/\Q}{p}\right)(\zeta_m)=\zeta_m^p. \] つまり Artin 記号は \((\Z/m\Z)^\times\) の元 \(p\bmod m\) そのものである。

例 12.2：Hilbert 類体の Artin 記号

\[ \Cl_K\simeq\Gal(H_K/K) \] の下で \[ [\p]\longmapsto \Frob_\p. \] \(\p\) が主イデアルなら \([\p]=1\) なので \(\Frob_\p=1\)、すなわち完全分解する。

例 12.3：Dirichlet の算術級数定理

\(L=\Q(\zeta_m)\) では Frobenius が \(p\bmod m\) である。 Chebotarev は、任意の \(a\in(\Z/m\Z)^\times\) に対して \[ p\equiv a\pmod m \] となる素数の密度が \[ \frac1{\varphi(m)} \] であることを与える。

例 13.1：\(\C/\R\)

\(G=\{1,c\}\)、\(c\) は複素共役。\(z\bar z=1\) なら \(|z|=1\)。 \(z=e^{i\theta}\) と書けば \[ z=\frac{e^{i\theta/2}}{e^{-i\theta/2}}. \] これは Hilbert 90 の最も直観的な例である。