類体論レポート 1：DOT + d3-graphviz による可視化

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図

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なぜ類体論は図で理解しやすいのか

類体論の主張は、ひとことで言えば「体の可換拡大を、基礎体の算術的データで分類する」ことです。抽象的に見える理由は、次のような異なる種類の対象が同時に現れるためです。

\[ \text{イデアル類群・ray class group・idele class group} \quad\longleftrightarrow\quad \text{可換 Galois 群} \]

図にすると、どの対象が「同じ情報を別の言葉で表しているか」が見えます。たとえば Hilbert 類体では

\[ \operatorname{Cl}_K \;\simeq\; \operatorname{Gal}(H_K/K) \]

という同型が中心です。左辺はイデアル類、右辺は最大不分岐可換拡大の Galois 群です。「イデアル類が Frobenius で Galois 元になる」という矢印をグラフで追うと、定理の構造が非常に見やすくなります。

収録した図のカタログ

学習依存 DAG
前提知識順序

何を先に理解すべきかを有向非巡回グラフで示す。

類体論の辞書
算術側Galois側

イデアル・Frobenius・類群・Galois 群の対応。

\(\mathbb Q(\zeta_8)\) の部分体格子
Galois部分体

\((\mathbb Z/8\mathbb Z)^\times\cong C_2\times C_2\) の可視化。

素イデアル分解の決定木
分解Frobenius

剰余次数 \(f\)、分解数 \(g\)、分岐指数 \(e\) の関係。

\(\mathbb Q(\sqrt{-5})\) の類群
class groupHilbert

非主類と Hilbert 類体の対応。

局所相互法則
localreciprocity

一様化元・単数群・Frobenius・惰性群の対応。

idele と大域相互法則
globalidele

局所データを積で束ね、対角埋め込みで割る流れ。

ray class tower
conductorcyclotomic

法 \(\mathfrak m\) を大きくすると許される分岐が増える。

各図の読み方

1. 学習依存 DAG

「Dedekind 整域」「素イデアル分解」「局所体」「idele」は、類体論の文で別々に登場しますが、実際には一つの長い道筋の上にあります。DAG では矢印 \(A\to B\) を「\(B\) を理解するには \(A\) が必要」と読みます。

重要なのは、線型な一本道ではないことです。たとえば Artin 写像には、 Galois 理論・素イデアル分解・局所体・イデールのすべてが同時に入ります。

2. 類体論の辞書

類体論で最も大切な図は、算術側と Galois 側の対応です。不分岐素イデアル \(\mathfrak p\) は Frobenius 元 \(\operatorname{Frob}_{\mathfrak p}\) を定め、イデアル類群の類は Hilbert 類体の Galois 元になります。

\[ [\mathfrak a]\in \operatorname{Cl}_K \quad\mapsto\quad \left(\frac{H_K/K}{\mathfrak a}\right) \in \operatorname{Gal}(H_K/K). \]

注意すべき点は、一般の Galois 拡大では Frobenius は共役類としてしか定まらないが、可換拡大では共役類が一点なので「元」として扱えることです。ここが類体論で「可換」が本質的になる最初の場所です。

3. \(\mathbb Q(\zeta_8)\) の部分体格子

\(\mathbb Q(\zeta_8)=\mathbb Q(i,\sqrt2)\) は次数 \(4\) の可換拡大です。 Galois 群は

\[ \operatorname{Gal}(\mathbb Q(\zeta_8)/\mathbb Q) \cong (\mathbb Z/8\mathbb Z)^\times = \{1,3,5,7\} \cong C_2\times C_2. \]

したがって中間体は三つあります： \[ \mathbb Q(i),\qquad \mathbb Q(\sqrt2),\qquad \mathbb Q(\sqrt{-2}). \] 図では底に \(\mathbb Q\)、上に \(\mathbb Q(\zeta_8)\)、中段に三つの二次部分体を置いています。

4. 素イデアル分解の図

有限 Galois 拡大 \(L/K\) と不分岐素イデアル \(\mathfrak p\) に対し、 \[ \mathfrak p\mathcal O_L = \mathfrak P_1\cdots \mathfrak P_g \] と分解します。Galois 拡大では全ての剰余次数が同じで、 \[ [L:K]=efg \] です。不分岐なら \(e=1\) なので、Frobenius の位数が \(f\) になります。

\[ \operatorname{ord}(\operatorname{Frob}_{\mathfrak p})=f, \qquad g=\frac{[L:K]}{f}. \]

5. \(\mathbb Q(\sqrt{-5})\) の類群と Hilbert 類体

\(K=\mathbb Q(\sqrt{-5})\) では \[ \operatorname{Cl}_K\cong C_2. \] 非主類の代表として \[ \mathfrak p_2=(2,1+\sqrt{-5}) \] を取れます。このイデアルはノルム \(2\) ですが、ノルム \(2\) の元は存在しないため主イデアルではありません。一方で \((2)=\mathfrak p_2^2\) なので、類は位数 \(2\) です。

Hilbert 類体は \[ H_K=\mathbb Q(\sqrt{-5},\sqrt5)=\mathbb Q(i,\sqrt5) \] であり、 \[ \operatorname{Gal}(H_K/K)\cong C_2. \] 図では非主類が非自明な Galois 元に送られることを示しています。

6. 局所相互法則の図

局所類体論は、局所体 \(K\) に対して \[ K^\times \longrightarrow \operatorname{Gal}(K^{\mathrm{ab}}/K) \] という相互法則写像を与えます。有限次 Abel 拡大 \(L/K\) に制限すると、

\[ K^\times/N_{L/K}L^\times \cong \operatorname{Gal}(L/K). \]

不分岐拡大では一様化元 \(\pi\) が Frobenius に対応し、単数群 \(\mathcal O_K^\times\) は惰性と関係します。ただし、幾何的 Frobenius と算術的 Frobenius のどちらを採用するかで逆元が現れるため、規約に注意が必要です。

7. 大域相互法則の図

大域類体論では、各場所 \(v\) の局所乗法群 \(K_v^\times\) を制限直積でまとめた \[ \mathbb A_K^\times \] を使います。対角埋め込みされた \(K^\times\) で割った \[ C_K=\mathbb A_K^\times/K^\times \] が idele class group です。大域 Artin 写像は

\[ C_K \longrightarrow \operatorname{Gal}(K^{\mathrm{ab}}/K) \]

であり、有限 Abel 拡大 \(L/K\) に対して \[ C_K/N_{L/K}C_L \cong \operatorname{Gal}(L/K) \] という同型を与えます。

DOT 言語の最小限

このレポートで使う DOT の基本は次の通りです。

digraph G {
  rankdir=LR;              // 左から右に描画
  node [shape=box];        // ノードの形
  A -> B [label="必要"];   // 有向辺
  {rank=same; B C D;}      // 同じ高さに配置
}

類体論の図では、包含を表すなら \(K\to L\)、写像を表すなら \(A\to B\)、対応を強調したいなら両方向の矢印 \(A\leftrightarrow B\) のつもりで二本の辺を置く、といった使い分けをします。

図を定理へ戻す練習

練習 A：Hilbert 類体の図を式に戻す

図で \[ \operatorname{Cl}_K \longrightarrow \operatorname{Gal}(H_K/K) \] と描かれている矢印は、厳密には次の写像です。

\[ [\mathfrak a]\mapsto \left(\frac{H_K/K}{\mathfrak a}\right), \]

ここで \(\mathfrak a\) は分岐素イデアルを含まない分数イデアルとして代表を取ります。 Hilbert 類体ではすべての有限素点で不分岐なので、ほとんどの素イデアルについて Frobenius が定まります。主イデアル類が単位元に送られることが、Artin 写像がイデアル類群に降りる理由です。

練習 B：Cyclotomic な図を式に戻す

\(\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q\) では、 \[ \operatorname{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n)/\mathbb Q) \cong (\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times \] です。素数 \(p\nmid n\) の Frobenius は \[ \zeta_n\mapsto \zeta_n^p \] で与えられます。したがって素数の分解型は、\(p\) の \((\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times\) における位数で決まります。

\[ f=\operatorname{ord}_n(p),\qquad g=\frac{\varphi(n)}{f},\qquad p\mathcal O_{\mathbb Q(\zeta_n)} = \mathfrak P_1\cdots\mathfrak P_g \quad(e=1). \]

次に読むべきレポート

図で構造を掴んだら、次は実際の計算で確認します。特に \(\mathbb Q(i)\)、\(\mathbb Q(\sqrt2)\)、\(\mathbb Q(\sqrt{-5})\)、\(\mathbb Q(\zeta_n)\) の例を大量に計算すると、 Frobenius と素イデアル分解の関係が手触りを持ちます。

具体例レポートでは、素数分解・Artin 記号・Hilbert 類体・局所ノルム群を計算します。演習・解答レポートでは、同じ計算を自力で再現する問題を用意しています。

類体論レポート 1
DOT + d3-graphviz によるグラフィカル理解

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