この例集の狙い
類体論は抽象度が高いので、最初は「定理」よりも「Frobeniusを計算する」「素数がどう分解するかを判定する」「射類体が何かを実例で見る」ことが重要です。このレポートでは、\(\Q\)、円分体、二次体、Hilbert類体、局所類体論、導手、Chebotarevを多数の具体例でつなぎます。
基本規約。 円分体では \(\Frob_p(\zeta_n)=\zeta_n^p\) という算術Frobenius規約で書きます。文献によって逆元を使う場合があります。
インタラクティブ計算ツール
二次体 \(\Q(\sqrt d)\) の分解判定
平方因子を持たない整数 \(d\) と素数リストを入力します。判別式 \(D\) を使い、\(p\) の分解・惰性・分岐を判定します。
円分体 \(\Q(\zeta_n)\) の分解型
\(p\nmid n\) のとき、剰余次数は \(p\) の mod \(n\) での位数です。
\((\Z/n\Z)^\times\) を表示
\(\Q(\zeta_n)/\Q\) のGalois群を剰余類で表示します。
具体例一覧
おすすめ学習ルート
- 円分体ルート： 例1〜6, 18, 19, 39, 40を読み、Frobeniusが合同類になることを定着させる。
- 二次体ルート： 例7〜10, 16, 17, 27〜30を読み、判別式・導手・Legendre/Kronecker記号で分解を判定する。
- Hilbert類体ルート： 例11〜13, 31を読み、類群がGalois群になる意味を理解する。
- 局所ルート： 例20〜23, 37, 38を読み、\(K_v^\times\) の構造と局所相互法則の関係を押さえる。
- 主定理ルート： 例32〜35, 43〜45を読み、射類群・ノルム・指標の翻訳を確認する。