Class Field Theory Companion Report

類体論レポート 3：演習問題と回答

定義確認から円分体・二次体の計算、Hilbert類体、局所類体論、導手、主定理の証明方針まで、段階別の演習と解答を収録しています。検索、難度フィルタ、進捗チェックができます。

生成日: 2026-05-21

使い方

各問題は解答を折りたたんであります。最初は解答を見ずに、最低限「どの定理を使うか」「Frobeniusをどの群の元として読むか」「導手・法・分岐のどれを計算するか」を言語化してから開いてください。

演習問題と回答

解く順番

  1. 基礎： 定義、円分体、二次体、Frobeniusの機械的計算を固める。
  2. 標準： 射類群、局所類体論、Hilbert類体、Chebotarevを横断して使う。
  3. 発展： 導手、主化、Hecke指標、平方剰余相互法則の類体論的解釈へ進む。
  4. 難問： 存在定理、第一・第二不等式、局所分岐群との対応など、証明構造を説明できるようにする。

公式メモ

円分体

\[\Gal(\Q(\zeta_n)/\Q)\simeq(\Z/n\Z)^\times,\quad \Frob_p(\zeta_n)=\zeta_n^p.\]

二次体

\[D=\begin{cases}d,&d\equiv1\pmod4,\\4d,&d\not\equiv1\pmod4,\end{cases}\quad \chi_D(p)=\left(\frac{D}{p}\right).\]

大域主定理

\[C_K/N_{L/K}C_L\simeq\Gal(L/K).\]

局所非分岐

\[N_{L/K}L^\times=\langle\pi^n\rangle\times\mathcal O_K^\times.\]