具体例カタログ
01
計算の共通テンプレート：判別式・分解・Frobenius
基礎分解Frobenius
以後のすべての例で使う最重要テンプレートは次です。数体 \(K=\mathbb Q(\alpha)\) の整数環を \(\mathcal O_K\) とし、
素数 \(p\) が指数 \([\mathcal O_K:\mathbb Z[\alpha]]\) を割らないとします。最小多項式 \(f(x)\) を \(\mathbb F_p\) 上で
\[
f(x)\equiv \prod_i g_i(x)^{e_i}\pmod p
\]
と分解すると、
\[
p\mathcal O_K=\prod_i \mathfrak p_i^{e_i},\qquad
\mathfrak p_i=(p,g_i(\alpha)),\qquad
f_i=\deg g_i.
\]
Galois 拡大で \(p\) が不分岐なら、Frobenius 元の位数が剰余次数 \(f\) になります。円分体
\(\mathbb Q(\zeta_n)\) ではさらに明快で、\(p\nmid n\) に対して
\[
\operatorname{Frob}_p(\zeta_n)=\zeta_n^p,\qquad
f=\operatorname{ord}_n(p),\qquad
g=\frac{\varphi(n)}{f}.
\]
02
\(\mathbb Q(i)\)：\(2\) の分岐
二次体分岐Q(i)
\(K=\mathbb Q(i)\), \(\mathcal O_K=\mathbb Z[i]\), \(i^2+1=0\), 判別式は \(-4\) です。
したがって分岐する有理素数は \(2\) だけです。実際、
\[
2=(1+i)(1-i),\qquad 1-i=-i(1+i).
\]
よってイデアルとして
\[
(2)=(1+i)^2
\]
です。より正確には \(\mathfrak p=(1+i)\) が唯一の \(2\) 上の素イデアルで、
\[
2\mathcal O_K=\mathfrak p^2,\qquad e=2,\quad f=1,\quad g=1.
\]
\(e=2\) なので \(2\) は完全分岐です。
03
\(\mathbb Q(i)\)：\(5\) は分解する
二次体分解Q(i)Frobenius
\(5\equiv 1\pmod 4\) なので \(-1\) は \(\mathbb F_5\) で平方です。実際 \(2^2=4\equiv -1\pmod5\)。
したがって
\[
x^2+1\equiv (x-2)(x+2)\pmod5.
\]
Dedekind の定理より
\[
5\mathbb Z[i]
=
(5,i-2)(5,i+2).
\]
各素イデアルの剰余体は \(\mathbb F_5\) なので、\(e=1,f=1,g=2\) です。
円分体として \(K=\mathbb Q(\zeta_4)\) と見ると、
\[
\operatorname{Frob}_5(i)=i^5=i,
\]
つまり Frobenius は恒等元です。Frobenius が恒等元であることと完全分解が一致します。
04
\(\mathbb Q(i)\)：\(3\) は惰性
二次体惰性Q(i)Frobenius
\(3\equiv 3\pmod4\) なので \(-1\) は \(\mathbb F_3\) で平方ではありません。
\[
x^2+1\equiv x^2+1 \pmod3
\]
は \(\mathbb F_3\) 上既約です。したがって
\[
3\mathbb Z[i]\quad\text{は素イデアル}
\]
であり、\(e=1,f=2,g=1\) です。Frobenius は
\[
\operatorname{Frob}_3(i)=i^3=-i
\]
で、位数 \(2\) です。位数 \(2\) が剰余次数 \(f=2\) に対応しています。
05
\(\mathbb Q(i)\)：\(13\) の明示的分解
二次体分解Q(i)
\(13\equiv1\pmod4\) なので分解します。平方根を実際に探すと
\[
5^2=25\equiv -1\pmod{13}.
\]
よって
\[
x^2+1\equiv (x-5)(x+5)\pmod{13}.
\]
従って
\[
13\mathbb Z[i]
=
(13,i-5)(13,i+5).
\]
この計算は素因数分解 \(13=2^2+3^2\) とも整合します。実際、
\[
13=(3+2i)(3-2i).
\]
\((3+2i)\) は上の二つの素イデアルのどちらかを生成します。
06
\(\mathbb Q(\sqrt2)\)：判別式 \(8\) と分解法則
二次体分解Q(sqrt2)
\(K=\mathbb Q(\sqrt2)\), \(\mathcal O_K=\mathbb Z[\sqrt2]\), 判別式は \(8\) です。
したがって \(2\) は分岐し、奇素数 \(p\) については
\[
p\ \text{split}
\Longleftrightarrow
2\ \text{is a square mod }p
\Longleftrightarrow
p\equiv \pm1\pmod8.
\]
一方、
\[
p\ \text{inert}
\Longleftrightarrow
p\equiv \pm3\pmod8.
\]
この合同条件は二次相互法則から得られます。
07
\(\mathbb Q(\sqrt2)\)：\(17\) は分解する
二次体分解Q(sqrt2)
\(17\equiv1\pmod8\) なので分解します。実際
\[
6^2=36\equiv2\pmod{17}.
\]
よって
\[
x^2-2\equiv (x-6)(x+6)\pmod{17},
\]
したがって
\[
17\mathcal O_K=(17,\sqrt2-6)(17,\sqrt2+6).
\]
各素イデアルのノルムは \(17\) です。
08
\(\mathbb Q(\sqrt2)\)：\(3\) と \(5\) は惰性
二次体惰性Q(sqrt2)
\(3\equiv3\pmod8\), \(5\equiv5\pmod8\) なので、どちらも惰性です。
具体的には、\(\mathbb F_3\) の平方は \(0,1\) だけなので \(2\) は平方でなく、
\(\mathbb F_5\) の非零平方は \(1,4\) なのでやはり \(2\) は平方でありません。
\[
x^2-2\quad\text{は}\quad \mathbb F_3,\mathbb F_5\text{上既約}.
\]
したがって
\[
3\mathcal O_K,\quad 5\mathcal O_K
\]
はいずれも素イデアルで、剰余次数は \(2\) です。
09
\(\mathbb Q(\sqrt5)\)：整数環に注意する
二次体整数環分解
\(K=\mathbb Q(\sqrt5)\) では、\(\sqrt5\) そのものではなく
\[
\omega=\frac{1+\sqrt5}{2}
\]
を使うのが自然です。整数環は
\[
\mathcal O_K=\mathbb Z[\omega],\qquad
\omega^2-\omega-1=0,
\]
判別式は \(5\) です。素数分解は \(x^2-x-1\) の \(\mathbb F_p\) 上の分解で調べます。
例として \(p=11\) を見ると、\(5\) の平方根は \(4\) です。
\[
\omega=\frac{1\pm4}{2}
\]
なので、\(2^{-1}\equiv6\pmod{11}\) を用いて根は
\[
\frac{5}{2}\equiv 8,\qquad
\frac{-3}{2}\equiv 4\pmod{11}.
\]
したがって
\[
11\mathcal O_K=(11,\omega-8)(11,\omega-4).
\]
10
\(\mathbb Q(\sqrt{-5})\)：基本データ
二次体Q(sqrt-5)類群
\(K=\mathbb Q(\sqrt{-5})\), \(\alpha=\sqrt{-5}\) とします。
\(-5\equiv3\pmod4\) なので
\[
\mathcal O_K=\mathbb Z[\alpha],\qquad
D_K=-20.
\]
ノルムは
\[
N(a+b\alpha)=a^2+5b^2.
\]
分岐する有理素数は判別式を割る \(2,5\) です。
奇素数 \(p\nmid10\) の分解は
\[
x^2+5\pmod p
\]
が一次式に分解するか、既約かで決まります。
11
\(\mathbb Q(\sqrt{-5})\)：\(2\) と \(5\) の分岐
二次体分岐Q(sqrt-5)
\(2\) については
\[
x^2+5\equiv x^2+1\equiv (x+1)^2\pmod2.
\]
したがって
\[
(2)=\mathfrak p_2^2,\qquad
\mathfrak p_2=(2,1+\alpha).
\]
\(\mathfrak p_2\) のノルムは \(2\) です。しかしノルム \(2\) の元は存在しません。
なぜなら \(a^2+5b^2=2\) に整数解がないからです。したがって \(\mathfrak p_2\) は非主イデアルです。
\(5\) については
\[
(5)=(\alpha)^2
\]
なので、上の素イデアルは主イデアル \((\alpha)\) です。
12
\(\mathbb Q(\sqrt{-5})\)：\(3\) は分解するが素イデアルは非主
二次体分解Q(sqrt-5)類群
\(\mathbb F_3\) では
\[
x^2+5\equiv x^2-1=(x-1)(x+1).
\]
よって
\[
3\mathcal O_K
=
(3,\alpha-1)(3,\alpha+1).
\]
各素イデアルのノルムは \(3\) です。しかし \(a^2+5b^2=3\) には整数解がありません。
したがって、これらの素イデアルは主イデアルではありません。
この「分解するが主ではない」という現象が、単純な素因数分解とイデアル分解の差を最初に感じさせる例です。
13
\(\mathbb Q(\sqrt{-5})\)：一意分解の失敗 \(6=2\cdot3=(1+\alpha)(1-\alpha)\)
二次体UFDQ(sqrt-5)
\(\alpha=\sqrt{-5}\) とすると
\[
6=2\cdot3=(1+\alpha)(1-\alpha).
\]
ノルムを使って、\(2,3,1+\alpha,1-\alpha\) が既約であることを確認できます。
たとえば \(2\) が可約なら、ノルム \(2\) の元が必要ですが、
\[
a^2+5b^2=2
\]
に整数解はありません。同様にノルム \(3\) の元もありません。
また \(N(1\pm\alpha)=6\) なので、これが可約ならノルム \(2\) または \(3\) の因子が必要ですが、それも存在しません。
よって二通りの既約分解は互いに本質的に異なります。
14
\(\mathbb Q(\sqrt{-5})\)：Minkowski 境界で類群を決める
類群MinkowskiQ(sqrt-5)
虚二次体 \(K\) の各イデアル類にはノルム
\[
\le \frac{2}{\pi}\sqrt{|D_K|}
\]
の整イデアル代表があります。ここでは \(|D_K|=20\) なので
\[
\frac{2}{\pi}\sqrt{20}\approx2.85.
\]
したがって各イデアル類はノルム \(1\) または \(2\) の代表を持ちます。
ノルム \(1\) の代表は \(\mathcal O_K\) で主類です。
ノルム \(2\) の代表は \(\mathfrak p_2=(2,1+\alpha)\) です。
さらに \((2)=\mathfrak p_2^2\) なので、\([\mathfrak p_2]^2=1\)。
\(\mathfrak p_2\) は非主なので
\[
\operatorname{Cl}_K=\{1,[\mathfrak p_2]\}\cong C_2.
\]
15
\(\mathbb Q(\sqrt{-5})\) の Hilbert 類体
Hilbert類体Q(sqrt-5)判別式
\(K=\mathbb Q(\sqrt{-5})\) の類数は \(2\) なので、Hilbert 類体 \(H_K\) は \(K\) 上次数 \(2\) の不分岐 Abel 拡大です。
具体的には
\[
H_K=\mathbb Q(\sqrt{-5},\sqrt5)=\mathbb Q(i,\sqrt5).
\]
この体が \(K\) 上不分岐であることは判別式で確認できます。
三つの二次部分体は
\[
\mathbb Q(i),\quad \mathbb Q(\sqrt5),\quad \mathbb Q(\sqrt{-5})
\]
で、判別式はそれぞれ
\[
-4,\quad 5,\quad -20.
\]
双二次体の判別式は二次部分体の判別式の積なので
\[
D_H=(-4)\cdot5\cdot(-20)=400.
\]
一方 \(D_K^2=(-20)^2=400\)。従って相対判別式のノルムは
\[
\frac{|D_H|}{|D_K|^2}=1.
\]
よって \(H_K/K\) は有限素点で不分岐です。
16
Hilbert 類体での Frobenius：非主類は非自明元へ
Hilbert類体ArtinQ(sqrt-5)
Hilbert 類体の Artin 同型は
\[
\operatorname{Cl}_K\cong \operatorname{Gal}(H_K/K)
\]
です。\(K=\mathbb Q(\sqrt{-5})\) ではどちらも \(C_2\) です。
例として \(3\) 上の素イデアル
\[
\mathfrak p=(3,\alpha-1)
\]
は非主類に属します。したがって
\[
\left(\frac{H_K/K}{\mathfrak p}\right)
\]
は非自明な Galois 元です。拡大次数が \(2\) なので、\(\mathfrak p\) は \(H_K/K\) で惰性になります。
逆に主類に属する素イデアルは Hilbert 類体で完全分解します。
17
\(\mathbb Q(\sqrt{13})\)：整数環と \(p=3\) の分解
二次体分解
\(K=\mathbb Q(\sqrt{13})\) では
\[
\omega=\frac{1+\sqrt{13}}2,\qquad
\omega^2-\omega-3=0,\qquad
D_K=13.
\]
\(p=3\) では
\[
x^2-x-3\equiv x^2-x=x(x-1)\pmod3.
\]
従って
\[
3\mathcal O_K=(3,\omega)(3,\omega-1).
\]
\(13\equiv1\pmod3\) なので \(13\) が \(\mathbb F_3\) で平方であることと一致しています。
18
\(\mathbb Q(\zeta_5)\)：素数分解は \(p\bmod 5\) の位数で決まる
円分体Frobenius分解
\(L=\mathbb Q(\zeta_5)\) は次数 \(\varphi(5)=4\) の Abel 拡大で、
\[
\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/5\mathbb Z)^\times\cong C_4.
\]
\(p\ne5\) に対して
\[
\operatorname{Frob}_p(\zeta_5)=\zeta_5^p.
\]
したがって
\[
f=\operatorname{ord}_5(p),\qquad g=4/f.
\]
| \(p\bmod5\) | 位数 \(f\) | 分解型 |
|---|
| 1 | 1 | 完全分解：4 個の一次素イデアル |
| 2,3 | 4 | 惰性：1 個の次数 4 素イデアル |
| 4 | 2 | 2 個の次数 2 素イデアル |
19
\(\mathbb Q(\zeta_5)\)：\(2,11,19\) を比較する
円分体Frobenius分解
前例の表を実際の素数に適用します。
- \(2\bmod5=2\)。位数は \(4\)。したがって \(2\) は惰性で、剰余次数 \(4\)。
- \(11\bmod5=1\)。位数は \(1\)。したがって \(11\) は完全分解。
- \(19\bmod5=4\)。位数は \(2\)。したがって \(19\) は二つの次数 \(2\) の素イデアルに分解。
Frobenius はそれぞれ
\[
\zeta_5\mapsto\zeta_5^2,\qquad
\zeta_5\mapsto\zeta_5,\qquad
\zeta_5\mapsto\zeta_5^4.
\]
「Frobenius の位数 \(=\) 剰余次数」という規則がそのまま見えます。
20
\(\mathbb Q(\zeta_8)\)：Galois 群 \(C_2\times C_2\)
円分体Q(zeta8)分解
\(L=\mathbb Q(\zeta_8)=\mathbb Q(i,\sqrt2)\) では
\[
\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/8\mathbb Z)^\times=\{1,3,5,7\}\cong C_2\times C_2.
\]
奇素数 \(p\) に対して \(f=\operatorname{ord}_8(p)\) です。
| \(p\bmod8\) | 位数 | \(\mathbb Q(\zeta_8)\) での分解 |
|---|
| 1 | 1 | 完全分解：4 個 |
| 3,5,7 | 2 | 2 個の次数 2 素イデアル |
\(p=3\) では \(3\bmod8=3\) なので、\(\operatorname{Frob}_3\) は位数 \(2\)。
従って \(3\mathcal O_L\) は二つの次数 \(2\) の素イデアルに分解します。
21
\(\mathbb Q(\zeta_7)\)：完全な円分体
円分体Q(zeta7)分解
\(\Phi_7(x)=x^6+x^5+\cdots+x+1\) で、
\(\mathbb Q(\zeta_7)\) の次数は \(6\) です。
\(p\ne7\) に対して \(f=\operatorname{ord}_7(p)\), \(g=6/f\) です。
| 素数 | \(p\bmod7\) | 位数 \(f\) | 分解型 |
|---|
| 2 | 2 | 3 | 2 個の次数 3 素イデアル |
| 3 | 3 | 6 | 惰性 |
| 13 | 6 | 2 | 3 個の次数 2 素イデアル |
| 29 | 1 | 1 | 完全分解 |
たとえば \(\Phi_7(x)\) は \(\mathbb F_2\) 上で二つの三次既約多項式に分かれます：
\[
\Phi_7(x)\equiv (x^3+x+1)(x^3+x^2+1)\pmod2.
\]
22
\(\mathbb Q(\zeta_7)^+\)：実三次部分体
円分体実部分体分解
\(\mathbb Q(\zeta_7)^+\) は \(\zeta_7+\zeta_7^{-1}\) で生成される実三次体です。
\[
\theta=\zeta_7+\zeta_7^{-1}
\]
と置くと、\(\theta\) は
\[
x^3+x^2-2x-1=0
\]
を満たします。Galois 群は
\[
(\mathbb Z/7\mathbb Z)^\times/\{\pm1\}\cong C_3.
\]
したがって \(p\bmod7\) が \(\pm1\) なら完全分解、それ以外なら惰性です。
実際、\(p=2\) では
\[
x^3+x^2-2x-1\equiv x^3+x^2+1\pmod2
\]
で、これは \(\mathbb F_2\) 上既約です。よって \(2\) は惰性。
一方 \(13\equiv-1\pmod7\) なので完全分解し、
\[
x^3+x^2-2x-1
\equiv
(x+3)(x+5)(x+6)\pmod{13}.
\]
23
Kronecker--Weber の具体例
Kronecker-Weber円分体ray
Kronecker--Weber の定理は、\(\mathbb Q\) の有限 Abel 拡大は必ず円分体に含まれる、という主張です。
具体例は次の通りです。
| Abel 拡大 | 入る円分体 | コメント |
|---|
| \(\mathbb Q(i)\) | \(\mathbb Q(\zeta_4)\) | 導手 \(4\) |
| \(\mathbb Q(\sqrt{-3})\) | \(\mathbb Q(\zeta_3)\) | \(\zeta_3=(-1+\sqrt{-3})/2\) |
| \(\mathbb Q(\sqrt2)\) | \(\mathbb Q(\zeta_8)\) | \(\zeta_8+\zeta_8^{-1}=\sqrt2\) |
| \(\mathbb Q(\sqrt5)\) | \(\mathbb Q(\zeta_5)\) | 実二次部分体 |
| \(\mathbb Q(\zeta_{12})\) | \(\mathbb Q(\zeta_{12})\) | \(\mathbb Q(\zeta_3,\zeta_4)\) |
類体論的には、\(\mathbb Q\) の ray class field が円分体で尽くされることを意味します。
24
二次相互法則を分解法則として読む
二次相互法則分解
二次体 \(K=\mathbb Q(\sqrt d)\) で、判別式を \(D\) とします。
奇素数 \(p\nmid D\) は
\[
\left(\frac{D}{p}\right)=1
\]
なら分解し、\(-1\) なら惰性です。したがって二次相互法則は、
「異なる二次体での素数の分解条件を合同条件で書くための定理」と読めます。
例：
\[
\mathbb Q(i):\quad p\text{ split}\Longleftrightarrow p\equiv1\pmod4.
\]
\[
\mathbb Q(\sqrt2):\quad p\text{ split}\Longleftrightarrow p\equiv1,7\pmod8.
\]
\[
\mathbb Q(\sqrt5):\quad p\text{ split}\Longleftrightarrow p\equiv\pm1\pmod5.
\]
25
Hensel の補題：\(\sqrt2\in\mathbb Q_7\) を計算する
局所体HenselQ7
\(\mathbb F_7\) で \(3^2=9\equiv2\) なので、\(x^2-2\) は \(x=3\) を根に持ちます。
導関数 \(2x\) は \(x=3\) で \(6\not\equiv0\pmod7\)。
よって Hensel の補題により \(\mathbb Q_7\) に根が持ち上がります。
実際に \(7^2\) まで持ち上げます。\(x=3+7t\) と置くと
\[
(3+7t)^2=9+42t \pmod{49}.
\]
これが \(2\) に合同であるためには
\[
9+42t\equiv2\pmod{49}
\Longleftrightarrow
42t\equiv42\pmod{49}
\Longleftrightarrow
6t\equiv6\pmod7.
\]
従って \(t\equiv1\pmod7\) で、根は
\[
x\equiv10\pmod{49}.
\]
さらに \(x=10+49t\) として \(7^3\) まで持ち上げると、
\[
t\equiv2\pmod7,\qquad x\equiv108\pmod{343}.
\]
26
Hensel の補題が使えない例：\(\sqrt2\notin\mathbb Q_3\)
局所体HenselQ3
\(\mathbb F_3\) の平方は
\[
0^2=0,\quad 1^2=1,\quad 2^2=1.
\]
したがって \(2\) は \(\mathbb F_3\) で平方ではありません。
もし \(\mathbb Q_3\) に \(x^2=2\) の解があれば、\(3\)-進整数にスケールした解を mod \(3\) に落として
\(\mathbb F_3\) の解が得られるはずです。矛盾。
\[
\sqrt2\notin\mathbb Q_3.
\]
これは \(\mathbb Q(\sqrt2)\) で \(3\) が惰性であることの局所版です。
27
局所不分岐二次拡大：\(\mathbb Q_3(i)/\mathbb Q_3\)
局所類体論ノルムQ3
\(x^2+1\) は \(\mathbb F_3\) 上既約で、判別式 \(-4\) は \(3\) で割れません。
したがって
\[
L=\mathbb Q_3(i)
\]
は \(\mathbb Q_3\) の不分岐二次拡大です。
局所類体論によると
\[
\mathbb Q_3^\times/N_{L/\mathbb Q_3}L^\times
\cong
\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q_3)\cong C_2.
\]
不分岐拡大では単数群のノルムは全単数群に全射し、値付けは次数倍になります。
したがって
\[
N_{L/K}(L^\times)
=
3^{2\mathbb Z}\times\mathbb Z_3^\times
\subset
\mathbb Q_3^\times=3^\mathbb Z\times\mathbb Z_3^\times.
\]
商は値付けの偶奇だけを記録する \(C_2\) です。
28
完全分岐局所拡大：\(\mathbb Q_5(\sqrt5)\)
局所体分岐
\(L=\mathbb Q_5(\sqrt5)\) を考えます。
多項式
\[
x^2-5
\]
は Eisenstein 多項式です。したがって \(L/\mathbb Q_5\) は完全分岐二次拡大です。
\(\sqrt5\) は \(L\) の一様化元で、
\[
v_L(\sqrt5)=1,\qquad v_L(5)=2.
\]
不分岐拡大では剰余体が大きくなりますが、完全分岐拡大では剰余体は変わらず、値付けの刻みが細かくなります。
この違いは局所類体論で「一様化元」と「単数群」が別々の役割を持つ理由です。
29
局所単数フィルトレーション：\(\mathbb Q_5^\times\)
局所体単数フィルトレーション
\(\mathbb Q_5^\times\) は
\[
\mathbb Q_5^\times=5^\mathbb Z\times\mathbb Z_5^\times
\]
と分解します。さらに
\[
\mathbb Z_5^\times
\supset
U^1=1+5\mathbb Z_5
\supset
U^2=1+25\mathbb Z_5
\supset\cdots.
\]
剰余群は
\[
\mathbb Z_5^\times/U^1\cong\mathbb F_5^\times
\]
で、位数 \(4\) です。高次単数 \(U^n\) は導手や高次分岐群の深さを測ります。
ray class group の局所条件で \(1+\mathfrak p^n\) が現れるのはこのためです。
30
\(\mathbb Q\) の ray class field：法 \(5\)
ray円分体Artin
\(\mathbb Q\) の法 \(5\) の ray class field は \(\mathbb Q(\zeta_5)\) です。
対応する Galois 群は
\[
\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\zeta_5)/\mathbb Q)
\cong
(\mathbb Z/5\mathbb Z)^\times.
\]
素数 \(p\ne5\) の Artin 記号は単に
\[
p\bmod5
\]
です。例えば \(p=2\) は \(2\in(\mathbb Z/5\mathbb Z)^\times\) に対応し、
\(\zeta_5\mapsto\zeta_5^2\) です。
これは初等的な合同算術が、大域類体論の Artin 写像の特殊例になっていることを示します。
31
\(\mathbb Q\) の ray class field：法 \(8\)
ray円分体Q(zeta8)
法 \(8\) に対して ray class field は \(\mathbb Q(\zeta_8)\) です。
\[
(\mathbb Z/8\mathbb Z)^\times=\{1,3,5,7\}\cong C_2\times C_2.
\]
奇素数 \(p\) の Artin 記号は \(p\bmod8\) で決まります。
| \(p\bmod8\) | 作用 | 二次部分体での意味 |
|---|
| 1 | \(\zeta_8\mapsto\zeta_8\) | \(\mathbb Q(i),\mathbb Q(\sqrt2),\mathbb Q(\sqrt{-2})\) 全てで分解 |
| 3 | \(\zeta_8\mapsto\zeta_8^3\) | \(\mathbb Q(\sqrt{-2})\) では分解、他で惰性 |
| 5 | \(\zeta_8\mapsto\zeta_8^5\) | \(\mathbb Q(i)\) では分解、\(\mathbb Q(\sqrt2)\) では惰性 |
| 7 | \(\zeta_8\mapsto\zeta_8^7\) | \(\mathbb Q(\sqrt2)\) では分解、\(\mathbb Q(i)\) では惰性 |
32
Chebotarev：\(\mathbb Q(\zeta_5)\) での密度
Chebotarev円分体密度
\(\mathbb Q(\zeta_5)/\mathbb Q\) は Abel 拡大で Galois 群の位数は \(4\) です。
各元は一つの共役類なので、Chebotarev により各 Frobenius 元は密度 \(1/4\) で現れます。
これは初等的には Dirichlet の算術級数定理の
\[
p\equiv1,2,3,4\pmod5
\]
の各剰余類に素数が密度 \(1/4\) で現れる、という主張です。
類体論はこれを「Frobenius の分布」として一般化します。
33
Chebotarev：\(\mathbb Q(i)\) で完全分解する素数の密度
ChebotarevQ(i)密度
\(\mathbb Q(i)/\mathbb Q\) の Galois 群は \(C_2\) です。
不分岐素数 \(p\ne2\) について、完全分解することは Frobenius が恒等元であることと同値です。
Chebotarev により恒等元の密度は
\[
\frac{1}{2}.
\]
したがって
\[
p\equiv1\pmod4
\]
である素数の密度は \(1/2\) です。これは Dirichlet の定理の特殊例でもあります。
34
合成体：\(\mathbb Q(\zeta_3)\mathbb Q(\zeta_4)=\mathbb Q(\zeta_{12})\)
円分体合成体conductor
\(\gcd(3,4)=1\) なので
\[
\mathbb Q(\zeta_3)\mathbb Q(\zeta_4)=\mathbb Q(\zeta_{12}).
\]
Galois 群は
\[
(\mathbb Z/12\mathbb Z)^\times\cong
(\mathbb Z/3\mathbb Z)^\times\times
(\mathbb Z/4\mathbb Z)^\times
\cong C_2\times C_2.
\]
導手の観点では、法 \(3\) と法 \(4\) の条件を同時に課すと法 \(12\) になります。
35
双二次体の判別式公式
判別式双二次体Hilbert
双二次体 \(F=\mathbb Q(\sqrt a,\sqrt b)\) の三つの二次部分体の基本判別式を
\[
D_1,\quad D_2,\quad D_3
\]
とすると、
\[
D_F=D_1D_2D_3.
\]
例として \(F=\mathbb Q(i,\sqrt5)\) では二次部分体が
\[
\mathbb Q(i),\quad \mathbb Q(\sqrt5),\quad \mathbb Q(\sqrt{-5})
\]
で、判別式は
\[
-4,\quad 5,\quad -20.
\]
従って
\[
D_F=(-4)\cdot5\cdot(-20)=400.
\]
これは \(K=\mathbb Q(\sqrt{-5})\) の Hilbert 類体判定で使った計算です。
36
非 Galois 三次体との対比：\(x^3-2\)
対比非可換Galois
\(K=\mathbb Q(\sqrt[3]{2})\) は三次体ですが Galois 拡大ではありません。
この場合、素数分解は多項式
\[
x^3-2
\]
の mod \(p\) 分解で計算できますが、Frobenius を \(K/\mathbb Q\) の Galois 群の元として直接扱うことはできません。
Galois 閉包に上がる必要があります。
例として \(p=5\) では \(3^3=27\equiv2\pmod5\) なので一次因子があります：
\[
x^3-2\equiv (x-3)(x^2+3x+4)\pmod5.
\]
よって \(5\) は \(K\) で次数 \(1\) と次数 \(2\) の素イデアルに分かれます。
ただしこれは可換類体論の対象ではなく、「なぜ Abel 拡大に制限するのか」を理解する対比例です。
37
SageMath での検算テンプレート
SageMath検算
手計算を検算するための SageMath コードです。
# Q(i)
K.<i> = QuadraticField(-1)
K.factor(5)
K.factor(3)
# Q(sqrt(-5))
K.<a> = QuadraticField(-5)
K.class_group()
K.factor(2)
K.factor(3)
# cyclotomic field Q(zeta_5)
L.<z> = CyclotomicField(5)
L.factor(2)
L.factor(11)
L.factor(19)
# real subfield of Q(zeta_7)
R.<t> = NumberField(x^3 + x^2 - 2*x - 1)
R.factor(2)
R.factor(13)
計算機の出力を読むときは、必ず \(e,f,g\) を手計算の表と照合してください。