モンスター群 \( \mathbb{M} \)：有限単純群・Griess 代数・ムーンシャインの詳細レポート

核は \(\ker\varphi=\{g\in G\mid \varphi(g)=1_H\}\) である。 \(a,b\in\ker\varphi\) とすると \[ \varphi(ab^{-1})=\varphi(a)\varphi(b)^{-1}=1_H1_H^{-1}=1_H \] なので \(ab^{-1}\in\ker\varphi\)。ゆえに部分群判定法により \(\ker\varphi\leq G\)。 任意の \(x\in G\) と \(k\in\ker\varphi\) について \[ \varphi(xkx^{-1})=\varphi(x)\varphi(k)\varphi(x)^{-1} =\varphi(x)1_H\varphi(x)^{-1}=1_H \] なので \(xkx^{-1}\in\ker\varphi\)。したがって \(\ker\varphi\trianglelefteq G\)。 \(G\) が単純なら正規部分群は \(1\) と \(G\) だけである。 \(\ker\varphi=G\) なら任意の \(g\) で \(\varphi(g)=1_H\) だから自明準同型。 \(\ker\varphi=1\) なら \(\varphi(g)=\varphi(g')\) から \(1_H=\varphi(g)\varphi(g')^{-1}=\varphi(gg'^{-1})\)、 よって \(gg'^{-1}\in\ker\varphi=1\) なので \(g=g'\)。したがって単射である。

\(S_5\) の偶置換全体を \(A_5\) とする。 \(S_5\) の位数は \(5!=120\)。符号準同型 \(\operatorname{sgn}:S_5\to\{\pm1\}\) は全射で、核が \(A_5\) である。 よって第一同型定理から \(|A_5|=|S_5|/2=60\)。

\(A_5\) の元の型を調べる。偶置換は次の型に分かれる。

• 単位元：1 個。
• 3-cycle：\((abc)\)。選び方は \(\binom{5}{3}=10\)、各 3 点上に 2 個の 3-cycle があるので \(20\) 個。
• double transposition：\((ab)(cd)\)。5 文字のうち固定点を 1 つ選び、残り 4 点の分割を 3 通り選ぶので \(5\cdot3=15\) 個。
• 5-cycle：\(S_5\) では \((5-1)!=24\) 個。

これで合計 \(1+20+15+24=60\) である。次に \(A_5\) 内の共役類サイズを求める。 共役類サイズは \(|A_5|/|C_{A_5}(x)|\) である。 3-cycle \(x=(123)\) の \(S_5\) における中心化群は \(\langle(123)\rangle\times\langle(45)\rangle\) で位数 \(6\)。 そのうち偶置換は \(\langle(123)\rangle\) の 3 個だけなので \(|C_{A_5}(x)|=3\)、従って 3-cycle の \(A_5\)-共役類は \(60/3=20\) 個。

double transposition \(y=(12)(34)\) の \(A_5\) 中の中心化群には \[ 1,\quad (12)(34),\quad (13)(24),\quad (14)(23) \] が含まれる。これらは互いに \(y\) と可換で位数 4 の Klein 群をなす。 \(A_5\) 内で \(y\) と可換な元は、\(y\) の 2 点軌道 \(\{1,2\},\{3,4\}\) と固定点 \(\{5\}\) の構造を保たなければならず、 上の 4 個以外は生じない。したがって \(|C_{A_5}(y)|=4\)、類サイズは \(60/4=15\)。

5-cycle \(z=(12345)\) の \(S_5\) における中心化群は \(\langle z\rangle\) で位数 \(5\)。 5-cycle の冪 \(z,z^2,z^3,z^4\) はすべて偶置換なので \(|C_{A_5}(z)|=5\)。従って \(A_5\)-共役類サイズは \(60/5=12\)。 5-cycle は合計 24 個なので、\(A_5\) では 12 個ずつの 2 つの共役類に分裂する。

よって \(A_5\) の共役類サイズは \[ 1,\quad 20,\quad 15,\quad 12,\quad 12 \] である。任意の正規部分群 \(N\trianglelefteq A_5\) は共役で閉じている。 つまり \(x\in N\) なら \(g x g^{-1}\in N\) なので、\(N\) は共役類の和集合である。 また Lagrange の定理により \(|N|\) は 60 を割る。 \(N\) が非自明なら単位元の類 1 に加えて、上の \(20,15,12,12\) の一部を足した数が \(|N|\) である。 可能な和を確認すると \[ \begin{gathered} 1+12=13,\quad 1+15=16,\quad 1+20=21,\quad 1+12+12=25,\\ 1+15+12=28,\quad 1+20+12=33,\quad 1+15+20=36,\\ 1+15+12+12=40,\quad 1+20+12+12=45,\quad 1+15+20+12=48 \end{gathered} \] であり、いずれも 60 を割らない。すべてを足すと \(1+20+15+12+12=60\)。 従って正規部分群は \(\{1\}\) と \(A_5\) だけである。よって \(A_5\) は単純群である。

有限群 \(G\) の位数を素数 \(p\) が割るとする。集合 \[ X=\{(x_1,\dots,x_p)\in G^p\mid x_1x_2\cdots x_p=1\} \] を考える。最初の \(p-1\) 個を自由に選ぶと \(x_p=(x_1x_2\cdots x_{p-1})^{-1}\) と一意に定まるので \(|X|=|G|^{p-1}\) であり、これは \(p\) で割り切れる。

\(C_p\) が巡回的に座標を回す作用 \[ (x_1,\dots,x_p)\mapsto(x_2,\dots,x_p,x_1) \] を \(X\) 上に持つことを確認する。 非可換群では積の順序が問題に見えるが、 \(x_1x_2\cdots x_p=1\) なら \(x_1^{-1}=x_2\cdots x_p\) であり、 \[ x_2x_3\cdots x_p x_1=(x_2\cdots x_p)x_1=x_1^{-1}x_1=1 \] なので回転後も \(X\) に入る。

この作用の軌道サイズは \(1\) または \(p\) である。 固定点は \((x,x,\dots,x)\) の形で、条件は \(x^p=1\)。 固定点の少なくとも一つは \((1,\dots,1)\)。 もしこれが唯一の固定点なら、\(|X|\equiv1\pmod p\) となる。 しかし \(|X|=|G|^{p-1}\equiv0\pmod p\) で矛盾。 よって \(x\neq1\) かつ \(x^p=1\) となる \(x\in G\) が存在する。 \(p\) が素数で \(x\neq1\) だから \(x\) の位数は \(p\) である。

§5.3 で証明する公式 \[ |\operatorname{Cl}_{G}(x)|=\frac{|G|}{|C_G(x)|} \] を \(G=\mathbb{M}\) に適用する。2A では \[ \frac{808017424794512875886459904961710757005754368000000000} {8309562962452852382355161088000000} = 97239461142009186000. \] 2B では \[ \frac{808017424794512875886459904961710757005754368000000000} {139511839126336328171520000} = 5791748068511982636944259375. \] どちらも整数になる。これは中心化群が実際に群内部分群であることとも整合する。

\(A\) を単位元 \(1_A\) を持つ代数とし、\(\phi:A\to A\) を代数自己同型とする。 つまり \(\phi\) は全単射線形写像で、任意の \(a,b\in A\) について \(\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\) を満たす。 任意の \(y\in A\) を取る。全射性により、ある \(x\in A\) が存在して \(y=\phi(x)\)。 すると \[ \phi(1_A)y=\phi(1_A)\phi(x)=\phi(1_Ax)=\phi(x)=y \] かつ同様に \[ y\phi(1_A)=\phi(x)\phi(1_A)=\phi(x1_A)=\phi(x)=y. \] よって \(\phi(1_A)\) は \(A\) の単位元として振る舞う。単位元は一意なので \(\phi(1_A)=1_A\)。

したがって \(\mathbb{R}1_A\) は \(\mathbb{M}\)-不変な 1 次元部分空間である。 \(A\) の次元が 196884 なので、線形補空間の次元は \[ 196884-1=196883. \] 文献定理として、この補空間はモンスターの最小非自明表現と結びつく。

\(r_1=1,r_2=196883,r_3=21296876,r_4=842609326,r_5=18538750076,r_7=293553734298\) とする。 まず \[ r_1+r_2=1+196883=196884. \] 次に \[ r_1+r_2+r_3=1+196883+21296876=21493760. \] さらに \[ 2r_1+2r_2+r_3+r_4 =2+393766+21296876+842609326 =864299970. \] また \[ \begin{aligned} 3r_1+3r_2+r_3+2r_4+r_5 &=3+590649+21296876+1685218652+18538750076\\ &=20245856256. \end{aligned} \] 最後に \[ \begin{aligned} 5r_1+5r_2+2r_3+3r_4+2r_5+r_7 &=5+984415+42593752+2527827978\\ &\quad +37077500152+293553734298\\ &=333202640600. \end{aligned} \] これらは、\(V^\natural\) の次数付き成分が \(\mathbb{M}\)-表現として分解されるという Moonshine の数値的入口である。

\(g\in G\) に対し左剰余類を \(gH=\{gh\mid h\in H\}\) と定義する。 写像 \(H\to gH,\ h\mapsto gh\) は全射であり、もし \(gh_1=gh_2\) なら左から \(g^{-1}\) を掛けて \(h_1=h_2\) なので単射である。従って各剰余類のサイズは \(|H|\)。

任意の \(a,b\in G\) について、剰余類 \(aH,bH\) は互いに等しいか交わらない。 実際、ある \(x\in aH\cap bH\) があれば \(x=ah_1=bh_2\)。 すると \(a=bh_2h_1^{-1}\in bH\) であり、任意の \(ah\in aH\) について \(ah=b(h_2h_1^{-1}h)\in bH\) だから \(aH\subseteq bH\)。 同様に \(bH\subseteq aH\) なので等しい。

\(G\) は互いに交わらない左剰余類の和集合に分割され、各剰余類のサイズは \(|H|\)。 剰余類の個数を \([G:H]\) と書けば \[ |G|=[G:H]|H|. \] よって \(|H|\mid |G|\)。

写像 \[ \Phi:G/G_x\to Gx,\quad gG_x\mapsto gx \] を考える。まず well-defined を示す。 \(gG_x=hG_x\) なら \(h^{-1}g\in G_x\) だから \((h^{-1}g)x=x\)。 よって \(gx=hx\)。

全射性は軌道の定義から明らかである。単射性を示す。 \(\Phi(gG_x)=\Phi(hG_x)\) なら \(gx=hx\)。 左から \(h^{-1}\) を作用させると \((h^{-1}g)x=x\)、従って \(h^{-1}g\in G_x\)。 これは \(gG_x=hG_x\) を意味する。 よって \(\Phi\) は全単射であり、\(|Gx|=|G/G_x|=[G:G_x]\)。

\(G\) が自分自身に共役で作用する作用 \[ g\cdot x=gxg^{-1} \] を考える。単位元は \(1\cdot x=x\)。 また \[ (gh)\cdot x=(gh)x(gh)^{-1}=g(hxh^{-1})g^{-1}=g\cdot(h\cdot x) \] なのでこれは群作用である。 この作用の \(x\) の軌道はまさに \(\operatorname{Cl}_G(x)\)。 \(x\) を固定する元は \[ gxg^{-1}=x \] を満たす \(g\) である。右から \(g\) を掛ければ \(gx=xg\)。 したがって固定部分群は \(C_G(x)\) である。 軌道・固定部分群定理を適用して \[ |\operatorname{Cl}_G(x)|=[G:C_G(x)]. \] \(G\) が有限なので Lagrange の定理により \([G:C_G(x)]=|G|/|C_G(x)|\)。

まず \(Z(G)\trianglelefteq G\) を示す。 \(z\in Z(G)\)、\(g\in G\) とする。任意の \(h\in G\) について \[ (gzg^{-1})h =gz(g^{-1}h) =g(g^{-1}h)z =hz. \] ここで最後の形を \(h(gzg^{-1})\) と一致させるため、より直接に \(z\) がすべての元と可換であることを使うと \[ gzg^{-1}=gg^{-1}z=z \] である。したがって \(gZ(G)g^{-1}=Z(G)\)、中心は正規部分群である。 \(G\) が単純なので \(Z(G)=1\) または \(Z(G)=G\)。 もし \(Z(G)=G\) なら任意の元が可換で、\(G\) は可換群になる。 非可換という仮定に反する。よって \(Z(G)=1\)。

\(x\in N\) とする。\(N\) が正規であるとは、任意の \(g\in G\) について \(gNg^{-1}=N\) であることだから、特に \(gxg^{-1}\in N\)。 したがって \(x\) を含む共役類 \(\operatorname{Cl}_G(x)\) は \(N\) に含まれる。 \(N\) の任意の元についてこれが成り立つので、 \(N\) はそれに含まれる元の共役類をすべて集めた和集合である。

以下の表で、各行の「累積積」は直前行の累積積に \(p^a\) を掛けた値である。 最終行が求める積である。

カンマを除けば最終行は \(808017424794512875886459904961710757005754368000000000\) である。

恒等元 \(1\in G\) は表現 \(\rho\) により各 \(V_n\) 上で恒等線形写像 \(\operatorname{id}_{V_n}\) として作用する。 \(d=\dim(V_n)\) とし、基底を一つ選べば \(\operatorname{id}_{V_n}\) の行列は \(d\times d\) の単位行列である。 そのトレースは対角成分の和なので \(1+\cdots+1=d\)。 よって各 \(n\) で \(\operatorname{tr}(1|_{V_n})=\dim(V_n)\)。 これを形式的 Laurent 級数として足し合わせれば主張が従う。