グレブナー基底：演習問題と回答

\(x^2z>xy^2\)。lex では最初に異なる \(x\) の指数を比較し、\(2>1\)。

全次数はいずれも 3。次に lex で比べ、\(x\) の指数が \(2>1\) なので \(x^2y>xy^2\)。

\(xy^2>x^2z\)。指数差 \((2,0,1)-(1,2,0)=(1,-2,1)\) の右端非零成分は \(+1\)。grevlex では右端非零成分が負の方を大きいとするので、前者は小さい。

\(\operatorname{LT}(f)=3x^2y\)。lex では次数より先に \(x\) の指数を比較する。

\(\operatorname{LT}(f)=y^5\)。全次数は \(3,4,5\) なので最大次数の項が先頭項。

\(x\equiv y^2\) なので \(\operatorname{NF}_G(x)=y^2\)。

\(xy-1\equiv y^3-1\equiv0\)。したがって正規形は 0。

\(x\equiv y^2\) より \(x^2y-1\equiv y^5-1\equiv y^2-1\)。正規形は \(y^2-1\)。

\(x^4+y\equiv y^8+y\equiv y^2+y\) because \(y^8=y^{6}y^2\equiv y^2\)。

\(x^2\equiv y\) なので \(x^4\equiv y^2\equiv1\)。よって正規形は \(1-y\)。

\(\operatorname{LM}(f_1)=x^2\), \(\operatorname{LM}(f_2)=xy\), lcm は \(x^2y\)。したがって \(S=yf_1-xf_2=x-y^2\)。

lcm は \(x^2y^2\)。\(S=y^2f_1-x^2f_2=x^2-y^3\)。

先頭単項式は \(xy\) と \(y^2\)、lcm は \(xy^2\)。\(S=yf_1-xf_2=(xy^2-xy)-(xy^2-xy)=0\)。

積判定法の内容である。\(\gcd(\operatorname{LM}(f),\operatorname{LM}(g))=1\) なら、lcm は積であり、両方の消去が独立に行えるため、\(S(f,g)\) は \(\{f,g\}\) によって 0 に簡約される。

\(S=x-y^2\)。この先頭項 \(x\) は \(x^2\) でも \(xy\) でも割れないので、\(F\) による余りは \(x-y^2\ne0\)。Buchberger 判定法よりグレブナー基底ではない。

\(S=x-y^2\) を追加する。\(xy-1\) を \(x-y^2\) で簡約すると \(y^3-1\)。最終的な簡約グレブナー基底は \(\{x-y^2,\;y^3-1\}\)。

S多項式は \(x^2-y^3\)。\(x^2-y\) で割ると \(y-y^3\)、さらに \(y^2-1\) で割ると 0。よって唯一の S多項式が 0 に簡約される。

任意の \(I\) の元は生成元の組合せで表される。先頭項が期待通りに消えない最小反例があると仮定すると、その原因は 2 つの生成元の先頭項の重なりに還元できる。この局所的重なりが S多項式であり、全て 0 に簡約されるなら最小反例は作れない。

\(x^a y^b\) で \(a<2\), \(b<3\)。したがって \(\{1,y,y^2,x,xy,xy^2\}\)。

\(x\) を含む単項式は全て禁止。\(y^3\) 以上も禁止。よって \(\{1,y,y^2\}\)。

\(x^2\) で割れるもの、\(xy\) で割れるもの、\(y^3\) で割れるものを除く。標準単項式は \(\{1,x,y,y^2\}\)。

無限個。\(1,x,x^2,x^3,\ldots,y\) はいずれも \(xy\) や \(y^2\) で割れない。

標準単項式の個数は \(2\times3=6\)。したがって商環次元は 6。

\(G\cap k[y]=\{y^3-1\}\)。消去定理より \(I\cap k[y]=\langle y^3-1\rangle\)。

\(y=\pm1/\sqrt2\)、\(x=y\)。

\(I\cap k[x,y]=\langle x^3-y^2\rangle\)。したがって関係は \(x^3-y^2=0\)。

\(x=y-1\) を代入すると \(2y^2-2y=2y(y-1)\)。消去多項式は正規化して \(y^2-y\)。交点は \((-1,0),(0,1)\)。

任意の \((x,y)\) に対して、\(t,u\) を二次方程式 \(T^2-xT+y=0\) の 2 根として選べば \(t+u=x\), \(tu=y\)。代数閉体上では一般に解が存在するため、\(x,y\) だけの非自明な多項式関係はない。

標準単項式は \(\{1,x,y,xy\}\)。解集合は \(\{0,1\}^2\)。

解集合は原点のみ。標準単項式は \(\{1,x\}\) なので商環次元は 2。

\(1,x,x^2,\ldots\) が標準単項式として無限に残る。商環が無限次元なので零次元ではなく、正次元成分を持つ。

\(1\mapsto y\), \(y\mapsto y^2\), \(y^2\mapsto y^3\equiv1\)。循環的な置換になる。

\(I:x^\infty=\langle y\rangle\)。\(xy=0\) のうち \(x=0\) 成分を取り除くと \(y=0\) が残る。

同じイデアルには無数の生成系がある。しかし体上で単項式順序を固定し、先頭係数を 1、各元の非先頭項が他の先頭単項式で割れない、という簡約条件を課すと、得られるグレブナー基底はただ 1 つになる。

grevlex は全次数を強く反映し、中間式の次数・項数の爆発を lex より抑えやすい。まず grevlex で基底を求め、零次元なら FGLM などで lex 基底へ変換する戦略が有効。

lex \(x>y\) で \(I_1=\langle x+y\rangle\), \(I_2=\langle x+y^2\rangle\)。どちらも初期イデアルは \(\langle x\rangle\) だが、イデアルは異なる。

\(\operatorname{NF}_G(f)=0\) なら割り算の等式から \(f\) は \(G\) の組合せなので \(I\) に入る。逆に \(f\in I\) で余り \(r\ne0\) とすると、\(r\in I\) かつ \(r\) のどの項も \(\operatorname{LT}(G)\) で割れない。しかしグレブナー基底では \(I\) の非零元の先頭単項式は初期イデアルに属し、どれかの \(\operatorname{LT}(g)\) で割れるので矛盾。