グレブナー基底：具体例を大量に読むレポート

\(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\), \(x^2-1=(x-1)(x+1)\)。共通部分の方程式としては \(x=1\) が残る。

\(x-y=0\) から \(x=y\)。これを \(x+y-1=0\) に代入して \(2y-1=0\)。

最初の S多項式は \(S(x^2-y,xy-1)=x-y^2\)。これを追加すると \(xy-1\) から \(y^3-1\) が現れる。

消去多項式 \(y^2-1/2\) は、交点の \(y\) 座標だけを記述する。

\(y=2x-1\) を \(y=x^2\) に代入すると \(x^2-2x+1=(x-1)^2\)。

商環の次元は 4。これは 4 個の点に対応する。

\((x)-(x-1)=1\)。グレブナー基底に 1 が現れることは「矛盾」の証明書である。

\(x\) は 0 ではないが \(x^2=0\) となる冪零元である。これは重複度を表す。

幾何的には \(y=0\) という直線に、原点付近の厚みを加えたような構造を持つ。

標準単項式の個数 4 は、零次元なら商環の \(k\)-次元である。

消去イデアルは \(I\cap\mathbb{Q}[x,y]=\langle x^3-y^2\rangle\)。

実際には \(x^2-y\) と \(xy-z\) から他の関係も従うが、lex グレブナー基底は消去段階ごとの関係を豊富に含む。

「消去すれば必ず非自明な関係式が出る」とは限らない。像が稠密なら消去イデアルは 0 になる。

これは「根の基本対称式が与えられた三次方程式」を lex グレブナー基底が復元している例。

実用計算では grevlex で計算してから FGLM などで lex へ変換する戦略がよく使われる。

S多項式 \(y^2f_1-x^2f_2=x^2-y^3\) は \(f_1,f_2\) で 0 に簡約される。

先頭単項式 \(x^2\) と \(xy\) の最小公倍単項式は \(x^2y\)。\(y f_1-x f_2=x-y^2\)。

\(z\) は 2 通り、\(y^2=z\)、\(x^2=y\) なので複素数上では合計 8 点が期待される。

標準単項式には \(1,x,x^2,\ldots,y\) が残り、商環は無限次元。有限個の点だけではない。

Boolean 方程式と同様、各変数の純冪が初期イデアルにあるため階段は有限。

商環では \(x^2=xy=y^2=0\)。一次の微小方向だけが残る。

\(x\equiv y^2\) なので \(xy-1\equiv y^3-1\equiv0\)。割り算の余りが 0 であることが所属の証明書になる。

\(x\equiv y^2\) なので \(x^2y-1\equiv y^5-1\equiv y^2-1\pmod{y^3-1}\)。

\(I:h^\infty=(I,1-th)\cap k[x,y]\)。ここでは \((xy,1-tx)\) から \(y\) が得られる。

直線 \(x=y-1\) を円に代入すると \((y-1)^2+y^2-1=2y(y-1)\)。係数 2 を正規化すれば \(y^2-y\)。

\(I_1\) と \(I_2\) の幾何は直線と放物線的グラフで異なる。

同じイデアルを \(\langle x-y^2,xy-1\rangle\) と書いても、簡約化すれば同じ基底へ戻る。

対称的に、\(y=x^2\) と \(x^3=1\) も同じ解集合を記述する。

\(\mathbb{F}_2\) では \(x^2-x=x(x-1)=x(x+1)\) が全ての体要素で 0 になる。

最終基底では \(S(x-y^2,y^3-1)\) は 0 に落ちる。先頭単項式は \(x\) と \(y^3\) で、標準単項式は \(1,y,y^2\)。

例：\(x^4+y\equiv y^8+y\equiv y^2+y\)。

この不安定性を取り除くために S多項式を検査し、必要な余りを追加するのが Buchberger アルゴリズム。