1. 具体例を見る前の共通規則
表現論を理解する最短ルートは、定理を読むことと同じくらい「小さい群で計算を最後までやること」です。このレポートでは、各群について次の観点を繰り返します。
共役類
指標は共役類上で定数なので、まず共役類を列挙します。列数は複素既約表現の個数と一致します。
次元
既約表現の次元 \(d_i\) は必ず \(\sum_i d_i^2=|G|\) を満たします。
分解
任意の指標 \(\chi\) における既約表現 \(V_i\) の重複度は \(\langle \chi,\chi_i\rangle\) です。
2. インタラクティブ指標表チェッカー
群を選ぶと指標表、次元二乗和、行直交性を自動確認します。また、任意の class function の値を入力すると既約分解を計算します。
操作
3. アーベル群の例
例1：自明群 \(\{e\}\)
既約表現は 1 つだけで、\(e\) を \(1\) に送る 1 次元表現です。指標表は \([1]\)。正則表現も同じです。これは \(\sum d_i^2=1\) の最小例です。
例2：巡回群 \(C_2=\langle r\mid r^2=e\rangle\)
既約表現は \(r\mapsto 1\) と \(r\mapsto -1\) の 2 つです。
| e | r | |
|---|---|---|
| \(\chi_+\) | 1 | 1 |
| \(\chi_-\) | 1 | -1 |
正則表現の指標は \((2,0)\) なので \(\mathbb C[C_2]\cong \chi_+\oplus\chi_-\)。
例3：巡回群 \(C_3=\langle r\mid r^3=e\rangle\)
\(\omega=e^{2\pi i/3}\) とすると、既約指標は \(r\mapsto 1,\omega,\omega^2\) です。
| e | r | r² | |
|---|---|---|---|
| \(\chi_0\) | 1 | 1 | 1 |
| \(\chi_1\) | 1 | \(\omega\) | \(\omega^2\) |
| \(\chi_2\) | 1 | \(\omega^2\) | \(\omega\) |
この表は離散 Fourier 変換行列です。巡回群の表現論は Fourier 解析そのものです。
例4：巡回群 \(C_4\)
生成元 \(r\) の固有値は \(1,i,-1,-i\) の 4 通りです。したがって既約指標は \(\chi_k(r^m)=i^{km}\)、\(k=0,1,2,3\)。
\(C_4\) の実 2 次元回転表現、つまり \(r\) を 90 度回転行列へ送る表現は、複素化すると \(\chi_1\oplus\chi_3\) になります。
例5：一般の巡回群 \(C_n\)
\(C_n=\langle r\rangle\)、\(\zeta=e^{2\pi i/n}\) とすると、既約表現は
\[ \chi_k(r^m)=\zeta^{km}\qquad (k=0,\dots,n-1). \]正則表現は全ての \(\chi_k\) を 1 回ずつ含みます。ここで指標直交性は
\[ \frac1n\sum_{m=0}^{n-1}\zeta^{(k-\ell)m}=\delta_{k\ell} \]という等比級数の恒等式に等しいです。
例6：Klein 四元群 \(V_4=C_2\times C_2\)
元を \(e,a,b,c\) とし、全ての非単位元が位数 2 とします。既約指標は 4 つで、各非単位元に \(\pm1\) を割り当てます。
| e | a | b | c | |
|---|---|---|---|---|
| \(\chi_{00}\) | 1 | 1 | 1 | 1 |
| \(\chi_{10}\) | 1 | 1 | -1 | -1 |
| \(\chi_{01}\) | 1 | -1 | 1 | -1 |
| \(\chi_{11}\) | 1 | -1 | -1 | 1 |
これは \(4\times4\) Hadamard 行列です。行同士の通常内積が 0 になるため、重み付き内積でも直交します。
例7：直積 \(C_2\times C_3\cong C_6\)
直積群の既約表現は、各因子の既約表現の外部テンソル積で得られます：
\[ \operatorname{Irr}(G\times H)=\{\chi\boxtimes\psi:\chi\in\operatorname{Irr}(G),\psi\in\operatorname{Irr}(H)\}. \]したがって \(C_2\times C_3\) には \(2\cdot3=6\) 個の 1 次元既約表現があります。
4. 対称群の例
例8：置換表現の基本例
\(S_n\) は \(\{1,\dots,n\}\) に作用するので、\(\mathbb C^n\) 上の置換表現を持ちます。この表現の指標は「置換の固定点数」です。定数ベクトル \((1,\dots,1)\) は自明部分表現を張り、補空間
\[ \{(x_1,\dots,x_n):x_1+\cdots+x_n=0\} \]が標準表現です。したがって
\[ \mathbb C^n \cong 1 \oplus \operatorname{Std}_{n-1}. \]例9：\(S_3\)
共役類は \(1\)、互換、3-cycle の 3 つ。既約表現は自明表現、符号表現、2 次元標準表現です。
| 1A size 1 | 2A size 3 | 3A size 2 | |
|---|---|---|---|
| \(1\) | 1 | 1 | 1 |
| \(\operatorname{sgn}\) | 1 | -1 | 1 |
| \(\sigma\) | 2 | 0 | -1 |
3 点置換表現の指標は固定点数なので \((3,1,0)\)。内積を取ると
\[ (3,1,0)= (1,1,1)+(2,0,-1), \]すなわち \(\mathbb C^3\cong 1\oplus\sigma\)。また \(\sigma\otimes\sigma\) の指標は \((4,0,1)\) で、これは \(1\oplus \operatorname{sgn}\oplus\sigma\) に分解します。
例10：\(S_4\)
共役類は cycle type で決まり、\((1^4),(2,1^2),(2^2),(3,1),(4)\) の 5 つです。したがって既約表現も 5 つです。
| 1 | (12) | (12)(34) | (123) | (1234) | |
|---|---|---|---|---|---|
| size | 1 | 6 | 3 | 8 | 6 |
| \(1\) | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| \(\operatorname{sgn}\) | 1 | -1 | 1 | 1 | -1 |
| \(\operatorname{std}\) | 3 | 1 | -1 | 0 | -1 |
| \(\operatorname{sgn}\otimes\operatorname{std}\) | 3 | -1 | -1 | 0 | 1 |
| \(2\) | 2 | 0 | 2 | -1 | 0 |
次元二乗和は \(1^2+1^2+3^2+3^2+2^2=24\)。4 点置換表現は \(1\oplus\operatorname{std}\) です。
5. 二面体群の例
例11：\(D_4=\langle r,s\mid r^4=s^2=e,\;srs=r^{-1}\rangle\)
正方形の対称群です。共役類は \(1\)、\(r^2\)、\(\{r,r^3\}\)、2 種類の反射類です。既約表現の次元は \(1,1,1,1,2\)。
| 1 | r² | r,r³ | s,r²s | rs,r³s | |
|---|---|---|---|---|---|
| A1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| A2 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 |
| B1 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 |
| B2 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 |
| E | 2 | -2 | 0 | 0 | 0 |
自然な平面表現は \(E\) です。90 度回転のトレースが 0、180 度回転のトレースが -2、反射のトレースが 0 であることから表の最終行が得られます。
例12：\(D_5\)
正五角形の対称群、位数 10。\(n\) が奇数の二面体群 \(D_n\) には 1 次元表現が 2 つ、2 次元表現が \((n-1)/2\) 個あります。\(D_5\) では \(1,1,2,2\)。
2 次元表現 \(E_m\) では回転 \(r^k\) の指標が \(2\cos(2\pi mk/5)\)、反射の指標が 0 になります。
6. 四元数群の例
例13：\(Q_8=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}\)
\(Q_8\) の共役類は \(1\)、\(-1\)、\(\{\pm i\}\)、\(\{\pm j\}\)、\(\{\pm k\}\) の 5 つです。したがって既約表現は 5 つ。アーベル化は \(Q_8/\{\pm1\}\cong V_4\) なので 1 次元表現が 4 つあります。残りは 2 次元です。
| 1 | -1 | ±i | ±j | ±k | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\chi_{00}\) | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| \(\chi_{10}\) | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 |
| \(\chi_{01}\) | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 |
| \(\chi_{11}\) | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 |
| \(\psi\) | 2 | -2 | 0 | 0 | 0 |
\(D_4\) と同じ次元列を持ちますが、共役類の構造と積構造は異なります。指標表だけでは群を完全には決定しない、という重要な注意点にもつながります。
7. 交代群の例
例14：\(A_4\)
正四面体の回転対称群です。共役類は \(1\)、3 個の double transposition、そして 3-cycle が \(A_4\) 内で 2 つの類に分裂したものです。既約表現の次元は \(1,1,1,3\)。
| 1 | double trans. | 3-cycle I | 3-cycle II | |
|---|---|---|---|---|
| size | 1 | 3 | 4 | 4 |
| \(1\) | 1 | 1 | 1 | 1 |
| \(1'\) | 1 | 1 | \(\omega\) | \(\omega^2\) |
| \(1''\) | 1 | 1 | \(\omega^2\) | \(\omega\) |
| \(3\) | 3 | -1 | 0 | 0 |
3 次元表現は正四面体の実回転表現を複素化したものです。
例15：\(A_5\)
\(A_5\) は位数 60 の単純群で、正二十面体・正十二面体の回転対称群です。共役類は 5 つ、既約次元は \(1,3,3,4,5\)。
| 1A | 2A | 3A | 5A | 5B | |
|---|---|---|---|---|---|
| size | 1 | 15 | 20 | 12 | 12 |
| \(1\) | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| \(3\) | 3 | -1 | 0 | \(\varphi\) | \(\varphi'\) |
| \(3'\) | 3 | -1 | 0 | \(\varphi'\) | \(\varphi\) |
| \(4\) | 4 | 0 | 1 | -1 | -1 |
| \(5\) | 5 | 1 | -1 | 0 | 0 |
ここで \(\varphi=(1+\sqrt5)/2\)、\(\varphi'=(1-\sqrt5)/2\)。次元二乗和は \(1+9+9+16+25=60\) です。
8. 操作の例：制限・誘導・テンソル積
例16：正則表現の分解
任意の有限群 \(G\) について、正則表現は
\[ \mathbb C[G]\cong\bigoplus_{\rho\in\operatorname{Irr}(G)}(\dim \rho)\rho. \]たとえば \(S_3\) では \(1\oplus\operatorname{sgn}\oplus 2\sigma\)、\(D_4\) では \(A_1\oplus A_2\oplus B_1\oplus B_2\oplus 2E\)。
例17：\(S_3\) のテンソル積
\(\sigma=(2,0,-1)\) とすると、\(\sigma\otimes\sigma\) の指標は点ごとの積で \((4,0,1)\)。内積計算により
\[ \sigma\otimes\sigma\cong 1\oplus\operatorname{sgn}\oplus\sigma. \]また \(\operatorname{sgn}\otimes\sigma\cong\sigma\)。これは標準表現が符号を掛けても同型になることを意味します。
例18：\(C_3\le S_3\) からの誘導
\(H=C_3\) とします。指数は 2 なので \(\operatorname{Ind}_H^{S_3}1_H\) は 2 次元です。これは \(S_3\) が左剰余集合 \(S_3/H\) に作用する置換表現で、実は
\[ \operatorname{Ind}_{C_3}^{S_3}1 \cong 1\oplus\operatorname{sgn}. \]理由は、3-cycle は両方の剰余類を固定し、互換は 2 つの剰余類を入れ替えるため、指標が \((2,0,2)\) となるからです。
例19：\(C_2\le S_3\) からの誘導
\(H=\langle(12)\rangle\) とすると指数は 3。剰余集合上の置換表現は \(S_3\) の 3 点自然表現に一致し、
\[ \operatorname{Ind}_{C_2}^{S_3}1\cong 1\oplus\sigma. \]一方、\(C_2\) の非自明指標を誘導すると \(\operatorname{sgn}\oplus\sigma\) になります。
例20：\(S_4\) の自然表現と標準表現
4 点置換表現の指標は cycle type ごとの固定点数で \((4,2,0,1,0)\)。指標表との内積を取ると
\[ (4,2,0,1,0)=(1,1,1,1,1)+(3,1,-1,0,-1). \]したがって \(\mathbb C^4\cong 1\oplus\operatorname{std}\)。