有限群コホモロジー
具体例大全

抽象論を理解する最短経路は、同じ定義がさまざまな群・係数・作用でどのように変化するかを比較することです。このレポートでは、消滅例、巡回群、符号作用、mod \(p\) 環、初等アーベル群、\(S_3\)、\(Q_8\)、拡大分類、Shapiro補題まで、計算例を横断的に整理します。

30個の具体例巡回群計算機タグ検索MathJax対応

0. 巡回群 \(C_n\) 作用計算機

係数を \(A=\ZZ/m\ZZ\) とし、生成元 \(t\) が \(x\mapsto a x\) で作用するとする。作用が正しく定まる条件は \(a^n\equiv1\pmod m\)。このとき

\[ H^{2i}(C_n,A)=A^{C_n}/N(A),\quad H^{2i+1}(C_n,A)=\Ker N/(t-1)A, \]

ただし \(H^0=A^{C_n}\)、\(N=1+t+\cdots+t^{n-1}\)。下の計算機は元を全列挙して商の位数を表示する。

計算機が内部でしていること

集合 \(\ZZ/m\ZZ\) の元を \(0,1,\ldots,m-1\) として列挙し、\(A^{C_n}=\{x:(a-1)x=0\}\)、\(N(A)=\{(1+a+\cdots+a^{n-1})x:x\in A\}\)、\(\Ker N=\{x:Nx=0\}\)、\((t-1)A=\{(a-1)x:x\in A\}\) を計算している。\(\ZZ/m\ZZ\) の部分群の商なので、表示される商は巡回群である。

1. 例の読み方

係数が重要

同じ群でも \(\ZZ\), \(\QQ\), \(\QQ/\ZZ\), \(\FF_p\) で結果は大きく変わる。特に \(|G|\) が係数上可逆なら高次は消える。

作用が重要

自明作用では \(H^1=\Hom(G,A)\) だが、非自明作用では交叉準同型になり、\(H^0=A^G\) から変わる。

低次元は分類

\(H^2\) は拡大を分類し、\(H^3\) は障害やSchur multiplierと関係する。計算結果の「意味」を見る。

2. 具体例30選

E01

自明群

設定: 自明群 \(1\) と任意の加群 \(A\)

\(H^0(1,A)=A\), \(n>0\) では \(H^n(1,A)=0\)。

分類空間は一点で、代数的にも不変元関手が恒等関手になる。高次導来関手は存在しない。

basicvanishing
E02

有限群で指数が可逆

設定: \(|G|\) が \(A\) 上可逆

\(n>0\) で \(H^n(G,A)=0\)。

平均化作用素により、持ち上げやコサイクルを不変化できる。標数が群位数を割らない体上の表現で頻出する消滅原理。

basicvanishing
E03

巡回群と整数係数

設定: \(C_n\) が \(\ZZ\) に自明作用

\(H^0=\ZZ\), \(H^{2i}\cong\ZZ/n\ZZ\ (i\ge1)\), \(H^{2i+1}=0\)。

周期解像度で \(t-1=0\), \(N=n\) となる。偶数正次数では \(\ZZ/n\ZZ\)、奇数次では \(\ZZ[n]=0\)。

cyclicintegral
E04

巡回群と \(\ZZ/m\ZZ\)

設定: \(C_n\) が \(\ZZ/m\ZZ\) に自明作用

\(i\ge0\) で \(H^{2i+1}\cong\ZZ/\gcd(n,m)\ZZ\)、\(i\ge1\) で \(H^{2i}\cong\ZZ/\gcd(n,m)\ZZ\)。

有限巡回加群では \(n\)-torsion と \(n\) 倍写像の余核が同じ位数を持つ。

cyclicfinite
E05

\(C_n\) と \(\QQ\)

設定: \(C_n\) が \(\QQ\) に自明作用

\(H^0=\QQ\), \(n>0\) では \(H^n=0\)。

\(n\) 倍写像が \(\QQ\) 上可逆であるため、平均化で高次が消える。

cyclicvanishing
E06

\(C_n\) と \(\QQ/\ZZ\)

設定: \(C_n\) が \(\QQ/\ZZ\) に自明作用

\(H^{2i}=0\ (i\ge1)\), \(H^{2i+1}\cong(\QQ/\ZZ)[n]\cong\ZZ/n\ZZ\)。

\(\QQ/\ZZ\) は可除なので \(n(\QQ/\ZZ)=\QQ/\ZZ\)。一方、\(n\)-torsion は \(1/n\) 型の元で作られる。

cyclicdivisible
E07

\(C_p\) の mod \(p\) コホモロジー

設定: \(p\) 素数、\(\FF_p\) は自明加群

\(p\) 奇数なら \(H^*(C_p,\FF_p)\cong\FF_p[u]\otimes\Lambda(v)\), \(\deg v=1,\deg u=2\)。\(p=2\) なら \(H^*(C_2,\FF_2)\cong\FF_2[x]\), \(\deg x=1\)。

標数が群の位数を割ると高次コホモロジーが大量に残る。表現論の非半単純性を測る基本例。

cyclicmodpring
E08

\(C_2\) の符号作用

設定: \(C_2=\langle s\rangle\), \(s\cdot a=-a\) on \(\ZZ\)

\(H^0=0\), \(H^{2i}=0\ (i\ge1)\), \(H^{2i+1}\cong\ZZ/2\ZZ\)。

ここでは \(N=1+s=0\), \(s-1=-2\)。奇数次は \(\ZZ/2\ZZ\)、偶数正次数は不変元がないので0。

cyclicaction
E09

\(C_2\) が \(\ZZ/4\ZZ\) に反転作用

設定: \(s\cdot x=-x\) on \(\ZZ/4\ZZ\)

\(H^0\cong\ZZ/2\ZZ\), \(H^{2i}\cong\ZZ/2\ZZ\ (i\ge1)\), \(H^{2i+1}\cong\ZZ/2\ZZ\)。

不変元は \(0,2\)。ノルムは0、\(s-1=-2\) の像も \(0,2\) である。

cyclicactionfinite
E10

\(H^1\) は準同型

設定: 作用が自明な任意の有限群 \(G\) とアーベル群 \(A\)

\(H^1(G,A)\cong\Hom(G,A)\)。

交叉準同型の式が通常の準同型の式 \(f(gh)=f(g)+f(h)\) になり、主交叉準同型は0になる。

lowdegreeh1
E11

\(H^1(C_n,\ZZ/m\ZZ)\)

設定: 自明作用

\(H^1(C_n,\ZZ/m\ZZ)\cong\Hom(C_n,\ZZ/m\ZZ)\cong\ZZ/\gcd(n,m)\ZZ\)。

生成元の像は \(n a=0\) を満たす元で自由に決まる。

cyclich1
E12

\(C_2\) by \(C_2\) の拡大

設定: \(H^2(C_2,C_2)\), 自明作用

\(H^2(C_2,C_2)\cong C_2\)。

0類は分裂拡大 \(C_2\times C_2\)、非0類は \(C_4\) を与える。

extensionh2cyclic
E13

一般の有限群で \(H^1(G,\ZZ)=0\)

設定: \(G\) 有限、\(\ZZ\) 自明加群

\(H^1(G,\ZZ)=\Hom(G,\ZZ)=0\)。

有限群から無限巡回群への準同型の像は有限部分群でなければならないが、\(\ZZ\) の有限部分群は0のみ。

integrallowdegree
E14

\(H^2(G,\ZZ)\)

設定: \(G\) 有限、\(\ZZ\) 自明加群

\(H^2(G,\ZZ)\cong\Hom(G,\QQ/\ZZ)\cong\Hom(G_{ab},\QQ/\ZZ)\)。

短完全列 \(0\to\ZZ\to\QQ\to\QQ/\ZZ\to0\) と \(H^{>0}(G,\QQ)=0\) から次元シフトで得られる。

integralh2
E15

\(S_3\) の整数係数コホモロジー

設定: \(S_3\cong D_6\), 自明 \(\ZZ\) 係数

\(H^0=\ZZ\)。奇数次は0、\(H^{4k+2}\cong\ZZ/2\ZZ\)、\(H^{4k}\cong\ZZ/6\ZZ\ (k\ge1)\)。

短完全列 \(1\to C_3\to S_3\to C_2\to1\) のLHSスペクトル系列で、\(C_2\) が \(H^2(C_3,\ZZ)\) に反転作用することが要点。

symmetricintegrallhs
E16

\(S_3\) の mod 2 コホモロジー

設定: \(\FF_2\) 自明係数

\(H^*(S_3,\FF_2)\cong\FF_2[x]\), \(\deg x=1\)。

\(C_3\) の高次 \(\FF_2\)-コホモロジーは消え、LHSで商 \(C_2\) のコホモロジーだけが残る。

symmetricmod2lhs
E17

\(S_3\) の mod 3 コホモロジー

設定: \(\FF_3\) 自明係数

\(H^*(S_3,\FF_3)\cong\FF_3[u^2]\otimes\Lambda(uv)\), \(\deg u=2,\deg v=1\)。

\(H^*(C_3,\FF_3)=\FF_3[u]\otimes\Lambda(v)\) に、商 \(C_2\) が反転で作用する。不変な単項式は \(u^2\) と \(uv\) で生成される。

symmetricmod3lhs
E18

初等アーベル \(p\)-群

設定: \(E=(C_p)^r\), \(\FF_p\) 自明係数

\(p\) 奇数では \(H^*(E,\FF_p)\cong\FF_p[u_1,\ldots,u_r]\otimes\Lambda(v_1,\ldots,v_r)\), \(\deg v_i=1,\deg u_i=2\)。\(p=2\) では \(\FF_2[x_1,\ldots,x_r]\), \(\deg x_i=1\)。

Künneth公式と \(C_p\) の計算を組み合わせる。

elementarymodpring
E19

Klein四元群

設定: \(V_4=C_2\times C_2\), \(\FF_2\) 自明係数

\(H^*(V_4,\FF_2)\cong\FF_2[x,y]\), \(\deg x=\deg y=1\)。

次数2には \(x^2,xy,y^2\) の3次元分があり、\(C_2\) による中心拡大の代表を多く含む。

elementarymod2ring
E20

\(V_4\) の整数係数低次

設定: \(V_4\), 自明 \(\ZZ\) 係数

\(H^1=0\), \(H^2\cong\Hom(V_4,\QQ/\ZZ)\cong(C_2)^2\), \(H^3\cong\Hom(\wedge^2 V_4,\QQ/\ZZ)\cong C_2\)。

\(H^2(G,\ZZ)\) はアーベル化の双対、\(H^3(G,\ZZ)\) はSchur multiplierの双対である。

elementaryintegral
E21

誘導加群ではShapiroが効く

設定: \(A=\Map(G/H,M)\) 型の余誘導加群

\(H^n(G,\Coind_H^G M)\cong H^n(H,M)\)。

特に \(H=1\) なら高次コホモロジーは0。計算を部分群に移す標準的な方法。

shapiroinduced
E22

正則表現型の係数

設定: \(A=\Map(G,M)\) with left translation

\(H^n(G,A)=0\ (n>0)\), \(H^0(G,A)\cong M\)。

これはShapiro補題の \(H=1\) の場合。共誘導加群はコホモロジー的に非輪状である。

shapirovanishing
E23

\(A_5\) の低次整数係数

設定: \(A_5\), 自明 \(\ZZ\) 係数

\(H^1=0\), \(H^2=0\), \(H^3\cong C_2\)。

\(A_5\) は完全群なので \(H^2(A_5,\ZZ)=\Hom((A_5)_{ab},\QQ/\ZZ)=0\)。Schur multiplier が \(C_2\) なので \(H^3\) に現れる。

simpleschur
E24

\(Q_8\) の周期性

設定: 四元数群 \(Q_8\), 自明 \(\ZZ\) 係数

\(H^0=\ZZ\), \(H^1=0\), \(H^2\cong(C_2)^2\), \(H^3=0\), \(H^4\cong\ZZ/8\ZZ\)、以後周期4。

\(Q_8\) は周期的コホモロジーを持つ有限群の代表例。

quaternionperiodic
E25

Sylow制限による検出

設定: \(P\) が \(p\)-Sylow 部分群

\(p\)-一次成分では \(\res_P^G\) が強い検出写像になる。

\(\cor_P^G\circ\res_P^G=[G:P]\) であり、\([G:P]\) は \(p\) と互いに素なので \(p\)-primary な元を殺さない。

restrictionsylow
E26

中心拡大と交代形式

設定: \(V=(C_p)^2\), 係数 \(C_p\)

\(H^2(V,C_p)\) の一部は交代双線形形式 \(\wedge^2 V\to C_p\) に対応する。

非退化交代形式から mod \(p\) Heisenberg 群が得られる。2-コサイクルが非可換性を作る典型例。

extensionelementary
E27

カップ積の基本例

設定: \(C_p\), \(\FF_p\) 係数

奇素数では次数1元 \(v\) と次数2元 \(u=\beta(v)\) により \(H^*\) が生成される。

\(v\cup v=0\) は外代数部分を、\(u\) の冪は多項式部分を表す。

cupring
E28

Tateコホモロジーの巡回群公式

設定: \(C_n\) と任意の \(C_n\)-加群 \(A\)

\(\widehat H^{2i}(C_n,A)=A^{C_n}/N(A)\), \(\widehat H^{2i+1}(C_n,A)=\Ker N/(t-1)A\)。

通常コホモロジーの2周期性を負次数まで延長したもの。

tatecyclic
E29

分裂拡大では2-類が0

設定: \(0\to A\to E\to G\to1\) が分裂

対応する \(H^2(G,A)\) の類は0。

準同型切断を選ぶと因子集合 \(\alpha(g,h)=0\) になる。逆に2-類が0なら切断を補正して準同型切断にできる。

extensionsplit
E30

非自明作用で \(H^0\) が小さくなる

設定: \(C_3\) が \(\ZZ/7\ZZ\) に2倍写像で作用

\(2^3=8\equiv1\pmod7\)。不変元は \((2-1)x=0\) より0だけ。

作用が非自明だと0次から既に情報が変わる。下の巡回群計算機で \(n=3,m=7,a=2\) を試すとよい。

actioninvariants

3. 典型ファミリー別まとめ

3.1 巡回群

設定結果見るべき点
一般作用\(H^{2i}=A^{C_n}/N(A)\), \(H^{2i+1}=\Ker N/(t-1)A\)2周期性。
自明作用、\(A=\ZZ\)偶数正次数 \(\ZZ/n\ZZ\)、奇数次0整数係数の最基本例。
自明作用、\(A=\FF_p\)\(p\mid n\) なら高次が残り、\(p\nmid n\) なら消える標数と群位数の関係。
符号作用不変元、ノルム、\(t-1\) の像が変化作用を忘れると誤答になる。

3.2 対称群・単純群

群係数代表的結果
\(S_3\)\(\ZZ\)奇数次0、\(H^{4k+2}\cong\ZZ/2\ZZ\)、\(H^{4k}\cong\ZZ/6\ZZ\)。
\(S_3\)\(\FF_2\)\(\FF_2[x]\), \(\deg x=1\)。
\(S_3\)\(\FF_3\)\(\FF_3[u^2]\otimes\Lambda(uv)\)。
\(A_5\)\(\ZZ\)\(H^2=0\), \(H^3\cong C_2\)。

3.3 拡大分類

コホモロジー群分類するもの典型例
\(H^2(C_2,C_2)\cong C_2\)\(C_2\) による \(C_2\) の中心拡大\(C_2\times C_2\) と \(C_4\)。
\(H^2(V_4,C_2)\)\(C_2\) による \(V_4\) の中心拡大\(C_2^3\), \(C_4\times C_2\), \(D_8\), \(Q_8\) などの構造が現れる。
\(H^2(G,\QQ/\ZZ)\)射影表現の因子集合Schur multiplier の双対。

4. 具体例を増やすための計算戦略

  1. まず係数で消滅判定。 \(|G|\) が係数上可逆なら高次は消える。
  2. 巡回部分群を確認。 周期解像度で計算できる場合が多い。
  3. 正規部分群があればLHS。 \(1\to N\to G\to Q\to1\) から \(E_2^{p,q}=H^p(Q,H^q(N,A))\)。
  4. 誘導係数ならShapiro。 係数が \(\Coind_H^G M\) の形なら \(H\) へ下げる。
  5. 低次元は分類問題で検算。 \(H^1\) は交叉準同型、\(H^2\) は拡大、\(H^3\) は障害・Schur multiplier と照合できる。
反復練習
具体例を自分で作るときは、\(G=C_n\), \(A=\ZZ/m\ZZ\), 作用 \(t\cdot x=ax\) から始めるのが最も効率的です。\(a^n\equiv1\pmod m\) を満たす非自明作用を選ぶと、\(H^0\), 奇数次、偶数次が異なる振る舞いを見せます。

作成物: finite_group_cohomology_examples.html