Cohen–Macaulay環具体例カタログ

1. 例を見る前の基準

局所環 \((R,\mathfrak m)\) では、判定の核は常に次です。

\[ R\text{ is CM} \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{depth}R=\dim R. \]

ただし、実例ではこの等式を直接計算するよりも、次の十分条件・反例パターンを使う方が速いことが多いです。

0収録例

0CM 例

0非CM 例

0条件付き例

2. 最短判定ルール

CM になりやすい族

正則環、完全交叉、超曲面、Gorenstein 環、generic determinantal ring、正規 affine semigroup ring、線形簡約群の不変式環、Reisner 条件を満たす Stanley–Reisner 環。

CM 性が壊れやすい兆候

埋込素イデアル、非等次元性、系パラメータが途中で零因子になること、低次数局所コホモロジーの非消滅、Stanley–Reisner 複体の非純性・非連結性。

3. 具体例カタログ

検索

カテゴリ

#01 CM 基本

体

\(R=k\)

次元\(\dim R=0\)

深さ\(\operatorname{depth}R=0\)

判定Cohen–Macaulay

体は局所環として極大イデアルが \(0\) であり、次元も深さも \(0\) です。したがって CM です。

0次元正則基本

#02 CM 基本

任意の非零 Artin 局所環

\(R=k[\varepsilon]/(\varepsilon^n)\), \(n\ge 1\)

次元\(\dim R=0\)

深さ\(\operatorname{depth}R=0\)

判定Cohen–Macaulay

0 次元局所環は、深さも次元も \(0\) なので CM です。非被約であっても 0 次元なら CM 条件は自動的に満たされます。

Artin0次元非被約

#03 CM 基本

一般の Artin 環

\(R=\prod_i R_i\), 各 \(R_i\) は Artin 局所環

次元\(\dim R=0\)

深さ各局所化で \(0\)

判定Cohen–Macaulay

非局所の定義では全ての素イデアルで局所化して判定します。Artin 環の局所化は 0 次元局所環なので CM です。

Artin非局所積

#04 CM 正則環

離散付値環

\(R=k[[t]]\) または DVR

次元\(\dim R=1\)

深さ\(\operatorname{depth}R=1\)

判定Cohen–Macaulay

極大イデアルは一つの非零因子 \(t\) で生成されます。したがって長さ 1 の正則列があり、深さは 1 です。

正則DVR1次元

#05 CM 正則環

形式的冪級数環

\(R=k[[x_1,\dots,x_n]]\)

次元\(\dim R=n\)

深さ\(\operatorname{depth}R=n\)

判定Cohen–Macaulay

\(x_1,\dots,x_n\) は正則パラメータ系であり、正則列です。正則局所環は CM 環の最も基本的な例です。

正則局所冪級数

#06 CM 正則環

多項式環

\(R=k[x_1,\dots,x_n]\)

次元\(\dim R=n\)

深さ全局所化で局所次元に等しい

判定Cohen–Macaulay

各素イデアルで局所化すると正則局所環になります。したがって非局所環として CM です。

正則多項式非局所

#07 CM 安定性

局所化での保存

\(R\) が CM なら \(R_\mathfrak p\)

次元局所次元に依存

深さ局所化後の深さ

判定Cohen–Macaulay

CM 性は素イデアルごとの局所条件です。したがって CM 環をさらに局所化しても CM 性は保たれます。

局所化安定性

#08 CM 安定性

完備化での保存

\((R,\mathfrak m)\mapsto \widehat R\)

次元\(\dim \widehat R=\dim R\)

深さ\(\operatorname{depth}\widehat R=\operatorname{depth}R\)

判定Cohen–Macaulay

Noether 局所環では \(\mathfrak m\)-進完備化は忠実平坦で、深さと次元を保つため、\(R\) が CM であることと \(\widehat R\) が CM であることは同値です。

完備化忠実平坦安定性

#09 CM 超曲面

尖点曲線

\(R=k[[x,y]]/(y^2-x^3)\)

次元\(1\)

深さ\(1\)

判定Cohen–Macaulay

\(k[[x,y]]\) は正則局所環で、\(y^2-x^3\neq0\) は非零因子です。非零因子 1 個で割った完全交叉なので CM です。

超曲面曲線特異点

#10 CM 超曲面

節点・交差する二直線

\(R=k[[x,y]]/(xy)\)

次元\(1\)

深さ\(1\)

判定Cohen–Macaulay

可約ですが、正則局所環の非零因子 \(xy\) で割った超曲面です。例えば \(x+y\) は商で非零因子になり、深さは 1 です。

超曲面可約曲線

#11 CM 超曲面

A₁ 型曲面特異点

\(R=k[[x,y,z]]/(xy-z^2)\)

次元\(2\)

深さ\(2\)

判定Cohen–Macaulay

3 変数正則局所環を 1 個の非零因子で割るので、次元は 2、深さも 2 です。特異点を持っていても CM です。

超曲面曲面正規

#12 CM 完全交叉

単純な単項式完全交叉

\(R=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(x^a,y^b)\), \(a,b\ge1\)

次元\(1\)

深さ\(1\)

判定Cohen–Macaulay

\(x^a,y^b\) は正則列です。完全交叉商なので CM です。冪零元が存在しても CM になり得ることに注意してください。

完全交叉非被約単項式

#13 CM 完全交叉

混合した完全交叉

\(R=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(x^2,yz)\)

次元\(1\)

深さ\(1\)

判定Cohen–Macaulay

まず \(x^2\) は非零因子です。さらに \(S/(x^2)\) の零因子は \(x\) を含む成分から来ますが、\(yz\) はそこに入らないため非零因子です。したがって長さ 2 の正則列で割った CM 環です。

完全交叉零因子単項式

#14 CM 超曲面

三変数の交差超曲面

\(R=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(xy)\)

次元\(2\)

深さ\(2\)

判定Cohen–Macaulay

正則局所環 \(k[x,y,z]_{(x,y,z)}\) の非零因子 \(xy\) で割った超曲面です。次元は 2、深さは 2 です。

超曲面可約局所

#15 非CM 埋込素

埋込点を持つ典型例

\(R=k[x,y]_{(x,y)}/(x^2,xy)\)

次元\(1\)

深さ\(0\)

判定Cohen–Macaulay でない

イデアルは \(x(x,y)\) で、\((x)\) の上に埋込素 \((x,y)\) が現れます。極大イデアル全体が零因子から成るため深さは 0 で、次元 1 に届きません。

反例埋込素非CM

#16 非CM 非等次元

非等次元な単項式商

\(R=k[x,y,z]/(xy,xz)\)

次元\(2\)

深さ\(<2\)

判定Cohen–Macaulay でない

\((xy,xz)=x(y,z)\) の極小素イデアルは \((x)\) と \((y,z)\) で、成分の次元が 2 と 1 に分かれます。局所 CM 環は等次元なので CM ではありません。

反例非等次元単項式

#17 非CM 埋込素

高次元版の埋込点

\(R=k[x,y,z]/(x^2,xy,xz)\)

次元\(2\)

深さ\(0\)

判定Cohen–Macaulay でない

\(x\) は極小成分 \((x)\) を与えますが、\((x,y,z)\) が埋込的に現れます。極大イデアルが associated prime になるため深さは 0 です。

反例埋込素非被約

#18 非CM 非等次元

孤立頂点付き Stanley–Reisner 例

\(R=k[x,y,z]/(xz,yz)\)

次元\(2\)

深さ\(<2\)

判定Cohen–Macaulay でない

これは辺 \(\{x,y\}\) と孤立頂点 \(z\) を持つ単体複体の Stanley–Reisner 環です。複体が純でないため CM ではありません。

反例Stanley-Reisner非純

#19 非CM 連結性

二つの平面が原点だけで交わる

\(R=k[x,y,z,w]/(xz,xw,yz,yw)\)

次元\(2\)

深さ\(1\)

判定Cohen–Macaulay でない

これは \((x,y)\cap(z,w)\) で定まる二つの座標平面の和集合です。2 次元成分が原点だけで交わるため、深さは 2 まで上がらず CM ではありません。

反例可約連結性

#20 CM 完全交叉

二つの可約方程式でも完全交叉

\(R=k[x,y,z,w]_{(x,y,z,w)}/(xy,zw)\)

次元\(2\)

深さ\(2\)

判定Cohen–Macaulay

\(xy\) は非零因子で、\(zw\) は \(S/(xy)\) の associated prime \((x),(y)\) に入らないため非零因子です。よって正則列で割った完全交叉です。

完全交叉可約単項式

#21 CM 曲線

三本の座標軸の和集合

\(R=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(xy,xz,yz)\)

次元\(1\)

深さ\(1\)

判定Cohen–Macaulay

被約 1 次元局所環では、極大イデアルを避けて非零因子を選べます。例えば一般線形形式は非零因子になり、深さ 1 が得られます。

可約曲線被約

#22 CM 非被約

非被約だが CM な一次元環

\(R=k[x,y,z]_{(x,y,z)}/(x^2,xy,y^2)\)

次元\(1\)

深さ\(1\)

判定Cohen–Macaulay

この環は \(z\) 方向に 1 次元で、\(z\) は非零因子です。したがって深さは 1、次元も 1 で CM です。冪零元の存在は CM 性を自動的には壊しません。

非被約一次元驚き

#23 非CM 非被約

非被約かつ深さ 0

\(R=k[[x,y]]/(x^2,xy)\)

次元\(1\)

深さ\(0\)

判定Cohen–Macaulay でない

同じ非被約でも、ここでは \(x\) が極大イデアルで殺される方向を持ち、極大イデアルが associated prime になります。したがって深さは 0 です。

反例非被約埋込素

#24 CM 行列式

2×3 行列の 2 次小行列環

\(S=k[a,b,c,d,e,f]\), \(I=I_2\begin{pmatrix}a&b&c\\ d&e&f\end{pmatrix}\)

次元\(4\)

深さ\(4\)

判定Cohen–Macaulay

\(I\) の高さは \((2-2+1)(3-2+1)=2\) です。Eagon–Northcott 複体により \(S/I\) は CM で、次元は \(6-2=4\) です。

行列式Eagon-Northcott標準例

#25 CM 行列式

一般の generic determinantal ring

\(S/I_t(X)\), \(X\) は \(m\times n\) generic matrix

次元\(mn-(m-t+1)(n-t+1)\)

深さ次元に等しい

判定Cohen–Macaulay

generic 行列の \(t\) 次小行列で生成されるイデアルの商は CM です。高さは \((m-t+1)(n-t+1)\) で与えられます。

行列式一般定理CM族

#26 CM Pfaffian

generic skew-symmetric 行列の Pfaffian 環

\(S/I_{2r}^{\mathrm{pf}}(X)\)

次元サイズと \(r\) に依存

深さ次元に等しい

判定Cohen–Macaulay

generic 交代行列の Pfaffian イデアルにも CM 性を与える標準的な自由分解があります。行列式環と同様に、特異多様体の重要な CM 例です。

Pfaffian一般定理高度

#27 CM トーリック

二次 Veronese

\(k[x^2,xy,y^2]\cong k[a,b,c]/(ac-b^2)\)

次元\(2\)

深さ\(2\)

判定Cohen–Macaulay

表示 \(ac-b^2=0\) により超曲面です。したがって CM です。

Veroneseトーリック超曲面

#28 CM トーリック

有理正規曲線の座標環

\(k[s^n,s^{n-1}t,\dots,t^n]\)

次元\(2\)

深さ\(2\)

判定Cohen–Macaulay

これは 2 変数多項式環の \(n\) 次 Veronese 部分環で、正規 affine semigroup ring の例です。正規半群環は CM です。

Veronese正規半群環曲線

#29 CM Segre

\(\mathbb P^1\times\mathbb P^1\) の Segre 環

\(k[a,b,c,d]/(ad-bc)\)

次元\(3\)

深さ\(3\)

判定Cohen–Macaulay

2×2 行列の行列式 \(ad-bc\) による超曲面です。したがって CM です。

Segre超曲面射影多様体

#30 CM トーリック

正規 affine semigroup ring

\(R=k[\mathbb N A]\) が正規

次元錐の階数

深さ次元に等しい

判定Cohen–Macaulay

Hochster の定理により、体上の正規 affine semigroup ring は CM です。トーリック幾何における CM 性の基本供給源です。

Hochsterトーリック一般定理

#31 CM 不変式

線形簡約群の不変式環

\(R=k[x_1,\dots,x_n]^G\)

次元通常 \(n\)

深さ次元に等しい

判定Cohen–Macaulay

\(G\) が線形簡約で適切に作用するとき、不変式環は CM になります。有限群なら \(\operatorname{char}k\nmid |G|\) が典型的な十分条件です。

不変式Hochster-Eagon一般定理

#32 CM Stanley-Reisner

単体

\(k[\Delta]=k[x_1,\dots,x_n]\)

次元\(n\)

深さ\(n\)

判定Cohen–Macaulay

\(\Delta\) が full simplex のとき非面がないので Stanley–Reisner イデアルは 0 です。多項式環そのものなので CM です。

Stanley-Reisner単体正則

#33 CM Stanley-Reisner

三角形の境界

\(k[x,y,z]/(xyz)\)

次元\(2\)

深さ\(2\)

判定Cohen–Macaulay

三角形の境界複体の唯一の極小非面は \(\{x,y,z\}\) です。商は超曲面であり、また境界球面は Reisner 条件を満たします。

Stanley-Reisner球面超曲面

#34 CM Stanley-Reisner

3 頂点の道グラフ

\(k[x_1,x_2,x_3]/(x_1x_3)\)

次元\(2\)

深さ\(2\)

判定Cohen–Macaulay

辺が \(\{1,2\},\{2,3\}\) の道グラフです。1 次元複体として連結かつ純なので CM です。代数的には超曲面でもあります。

Stanley-Reisnerグラフ超曲面

#35 CM Stanley-Reisner

五角形 \(C_5\)

\(k[x_1,\dots,x_5]/I_{C_5}\)

次元\(2\)

深さ\(2\)

判定Cohen–Macaulay

\(I_{C_5}\) は非辺に対応する平方自由単項式で生成されます。1 次元複体として連結で孤立頂点がないため CM です。一般には完全交叉ではありません。

Stanley-Reisnerグラフ非完全交叉

#36 非CM Stanley-Reisner

二本の離れた辺

\(k[x_1,x_2,x_3,x_4]/(x_1x_3,x_1x_4,x_2x_3,x_2x_4)\)

次元\(2\)

深さ\(1\)

判定Cohen–Macaulay でない

複体は辺 \(\{1,2\}\) と辺 \(\{3,4\}\) の非連結和です。1 次元複体が非連結なので Reisner 条件に反し、CM ではありません。

反例Stanley-Reisner非連結

#37 CM Stanley-Reisner

CM 複体の cone

\(k[\operatorname{cone}\Delta]\cong k[\Delta][t]\)

次元\(\dim k[\Delta]+1\)

深さ深さも \(+1\)

判定Cohen–Macaulay

\(\Delta\) が CM なら cone も CM です。環としては多項式変数を 1 個追加することに対応し、深さと次元が同時に 1 増えます。

Stanley-Reisnercone安定性

#38 条件付き Stanley-Reisner

実射影平面の三角形分割

\(k[\Delta]\), \(\Delta\simeq \mathbb{RP}^2\)

次元\(3\)

深さ係数体の標数に依存

判定仮定・標数に依存

\(\widetilde H_1(\mathbb{RP}^2;k)\) は \(\operatorname{char}k=2\) で非零、\(\operatorname{char}k\ne2\) で零です。したがって Reisner 条件により、CM 性は係数体の標数に依存します。

Stanley-Reisner標数依存Reisner

#39 CM 曲線

1 次元被約局所環

例：\(k[[x,y]]/(xy(x-y))\)

次元\(1\)

深さ\(1\)

判定Cohen–Macaulay

1 次元被約局所環では、極大イデアルは極小素イデアルの和集合ではないため、非零因子を 1 個選べます。したがって CM です。例は三本の枝を持つ平面曲線です。

曲線被約一般事実

#40 CM 曲線

非被約超曲面曲線

\(R=k[[x,y]]/(x^2)\)

次元\(1\)

深さ\(1\)

判定Cohen–Macaulay

正則局所環 \(k[[x,y]]\) の非零因子 \(x^2\) で割っているため超曲面です。\(y\) が非零因子になり、深さは 1 です。

超曲面非被約曲線

#41 非CM Stanley-Reisner

非純な複体

\(k[x,y,z]/(xy,xz)\)

次元\(2\)

深さ\(<2\)

判定Cohen–Macaulay でない

単体複体は辺 \(\{y,z\}\) と孤立頂点 \(x\) を持ちます。最大面の次元が揃わないため純でなく、CM ではありません。

反例Stanley-Reisner非純

#42 CM 非局所

有限直積

\(R=R_1\times R_2\), 各 \(R_i\) が CM

次元\(\max(\dim R_1,\dim R_2)\)

深さ局所化ごとに判定

判定Cohen–Macaulay

局所化による定義では、有限直積は各成分の局所環だけを見ます。したがって各 \(R_i\) が CM なら \(R\) も CM です。ただし全体として等次元とは限らないため、用語の流儀に注意が必要です。

非局所積注意

#43 非CM fiber product

正次元の fiber product

\(k[x,y]\times_k k[z,w]\cong k[x,y,z,w]/(xz,xw,yz,yw)\)

次元\(2\)

深さ\(1\)

判定Cohen–Macaulay でない

二つの 2 次元平面を閉点で貼り合わせた環です。貼り合わせが codimension 2 で起きるため深さが 1 に落ち、CM ではありません。

反例fiber product連結性

#44 CM Hilbert

Artinian reduction が見える例

\(R=k[x,y,z]/(xy)\)

次元\(2\)

深さ\(2\)

判定Cohen–Macaulay

線形形式 \(z,x+y\) は正則列になり、Artinian reduction は \(k[x]/(x^2)\) 型になります。Hilbert 級数は \((1+t)/(1-t)^2\) です。

Hilbert級数超曲面l.s.o.p

#45 CM 正規

2 次元正規局所環

\((R,\mathfrak m)\) normal, \(\dim R=2\)

次元\(2\)

深さ\(2\)

判定Cohen–Macaulay

Noether 正規環は Serre 条件 \(S_2\) を満たします。2 次元局所環では \(S_2\) が極大イデアルでの深さ \(\ge2\) を与えるため CM です。

正規Serre条件曲面

#46 条件付き注意

正規 3 次元以上

\(R\) normal, \(\dim R\ge3\)

次元\(\ge3\)

深さ\(\ge2\) までは保証

判定仮定・標数に依存

正規性は \(S_2\) までしか保証しません。3 次元以上では深さが 2 で止まる可能性があり、正規だからといって CM とは限りません。

正規注意非十分

4. 比較で理解する

非被約でも CM

\(k[[x,y]]/(x^2)\) や \(k[x,y,z]/(x^2,xy,y^2)\) は冪零元を持ちますが、次元分の非零因子を持つため CM です。

非被約で非CM

\(k[[x,y]]/(x^2,xy)\) は極大イデアルが埋込素として現れ、深さが 0 になります。

可約でも CM

\(k[[x,y]]/(xy)\) や三本の座標軸の和集合は、一次元で被約なので非零因子を 1 個選べます。

可約で非CM

二つの平面が原点だけで交わる \(k[x,y,z,w]/(xz,xw,yz,yw)\) は、連結性が弱く深さが落ちます。

Stanley–Reisner：連結グラフ

1 次元複体では、純で連結なら CM です。道グラフやサイクルは CM 例になります。

Stanley–Reisner：非連結・非純

二本の離れた辺は非連結、孤立頂点付きの複体は非純です。どちらも CM ではありません。

5. ランダム例で判定練習

ランダム例

自分で判定するときの手順

まず正則環・超曲面・完全交叉などの標準族かを見る。
商 \(S/I\) なら高さ、自由分解、正則列の長さを確認する。
埋込素・非等次元・非連結な Stanley–Reisner 複体を疑う。
最後に \(\operatorname{depth}=\dim\) へ戻す。